2021年高考数学一轮精选练习：54《直线与圆锥曲线》(含解析).doc

1、2021年高考数学一轮精选练习：54直线与圆锥曲线一 、选择题直线y=x3与双曲线=1(a0，b0)的交点个数是( )A.1 B.2 C.1或2 D.0已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )A.y=x1 B.y=2x5 C.y=x3 D.y=2x3已知直线y=kx1与双曲线x2y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为( )A. B. C. D.已知点A(2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2

2、px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为( )A.3 B.2 C.2 D.3已知双曲线y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p0)的焦点，直线y=kxm与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则AOB(O为坐标原点)的面积是()A.4 B.3 C. D.2已知双曲线C：=1(a0，b0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )A.(，) B.(，) C.(，2) D.(1，)已知双曲线E：=1，直线l交双曲线于A，B两

3、点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为( )A.4xy1=0 B.2xy=0C.2x8y7=0 D.x4y3=0设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|=3，则BCF与ACF的面积之比=( )A. B. C. D.已知双曲线=1(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y=ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=xm对称，且x1x2=，则m的值为()A. B. C.2 D.3二 、填空题已知直线y=2x2与抛物线y=ax2(a0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，

4、交抛物线于点A，若|AA|=|AA|，则a= .设P为双曲线=1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为 .设抛物线C：y2=2px(p0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|= .三 、解答题已知椭圆E：=1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x=4上，过F作DF的垂线交椭圆E于

5、M，N两点.证明：直线OD平分线段MN.设椭圆=1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程.已知椭圆：=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆交于A、B两点，l2与椭圆交于C，D两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)若直线l1与l2的斜率都存在，记=，求的取值范围.答案解析答案为：A；解析：

6、由直线y=x3与双曲线=1的渐近线y=x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.答案为：D；解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得yy=4(x1x2)，由题可知x1x2.=2，即kAB=2，直线l的方程为y1=2(x2)，即2xy3=0.故选D.答案为：D；解析：由题意知k0，联立整理得(1k2)x22kx5=0，因为直线y=kx1与双曲线x2y2=4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以解得1k，即k，故选D.答案为：D；解析：易知p=4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2=8x，与直线AB的方程y3=k(x2)联立，消去x整理得ky28y16k24=

7、0，由题意知=644k(16k24)=0，解得k=2或k=.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k=2，故k=，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF=，故选D.答案为：D；解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，与抛物线方程y2=2px联立得得即A，则直线AB的方程为yp=6，即y=6x2p，与抛物线方程y2=2px联立得得或所以B，所以直线OB的斜率为kOB=3.故选D.答案为：D；解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p=4，所以抛物线方程为y2=8x，又因为直线y=kxm与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kxm)2

8、=8xk2x2(2km8)xm2=0，x1x2=，x1x2=.又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1x2=4，且2=2km，联立解得k=2，m=2.|AB|=|x1x2|=2.O到AB的距离d=.SAOB=2=2.答案为：B；解析：由题意知，直线l：y=(xc)，由得x2x=0，由x1x2=0，得b4a4，所以b2=c2a2a2，所以e22，得e.答案为：C；解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得=，即=.又线段AB的中点坐标是，因此x1x2=2=1，y1y2=(1)2=2，=，=，即直线AB的斜率为，直线l的方程为y1=，即2x8y7=0.答案为：D；解析

9、：不妨设点A在第一象限，B在第四象限，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my.由y2=4x得p=2，因为|BF|=3=x2=x21，所以x2=2，则y=4x2=42=8，所以y2=2，由得y24my4=0，由根与系数的关系，得y1y2=4，所以y1=，由y=4x1，得x1=.过点A作AA垂直于准线x=1，垂足为A，过点B作BB垂直于准线x=1，垂足为B，易知CBBCAA，所以=.又|BB|=|BF|=3，|AA|=x1=1=，所以=.故选D.答案为：A；解析：由双曲线的定义知2a=4，得a=2，所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物

10、线y=2x2上，所以y1=2x，y2=2x，两式相减得y1y2=2(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线y=xm对称，所以=1，故x1x2=，而 x1x2=，解得x1=1，x2=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0=，y0=，因为中点M在直线y=xm上，所以=m，解得m=.一 、填空题答案为：2；解析：由得ax22x2=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2=，x1x2=，设PQ的中点为M，则xM=xA=，yA=ax=，由|AA|=|AA|可得AA=0，即APAQ，又M是线段PQ的中点，2|AM|=|PQ|，由于MAx轴，|M

11、A|=2，又|PQ|=|x1x2|=，42=5，解得a=2，此时满足0成立.故a=2.答案为：15；解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，直线PA的方程为yy0=(xx0)，直线OA方程为y=x，联立解得xA=，又P到渐近线OA的距离为d=，又tanxOA=，所以cosxOA=.所以平行四边形PAOB的面积为S=2SOPA=|OA|d=|6y05x0|=15.答案为：0；解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x，得y=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2=p2，根据弦长公式，|FP|FQ|=

12、|y1|y2|=|y1y2|=p2，而|OA|OB|=p2，所以|FP|FQ|OA|OB|=0.二 、解答题解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为=1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0=x1x2,2y0=y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF=，当n=0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n0时，直线MN的斜率kMN=.点M，N在椭圆上，整理得：=0，又2x0=x1x2,2y0=y1y2，=，直线OP的斜率为kOP=，直线OD的斜率为kOD=，直线OD平分线段MN.解：(

13、1)设F的坐标为(c,0).依题意，=，=a，ac=，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2c2=.所以，椭圆的方程为x2=1，抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my1(m0)，与直线l的方程x=1联立，可得点P，故Q.将x=my1与x2=1联立，消去x，整理得(3m24)y26my=0，解得y=0或y=.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x1)=0，令y=0，解得x=，故D.所以|AD|=1=.又因为APD的面积为，故=，整理得3m22|m|2=0，解得|m|=，所以m=.所以，直线AP的方程为3xy3=0或3xy3=0.解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得=，直线AB的方程为y1=(x1)，即x2y3=0.解法二：由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k，则其方程为y1=k(x1)，代入x22y2=4中，得x22kx(k1)24=0.(12k2)x24k(k1)x2(k1)24=0.=4(k1)k24(2k21)2(k1)24=8(3k22k1