单因素方差分析的计算步骤

1、.一、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）a ,且 a 有 m 个水平，分别记为 a1 , a2 ,am , 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做xij 表示在第 j个水平下的第 i 个试验值 i1,2, n; j 1,2,m 。结果如下表 3.1：表 3.1 单因素方差分析数据结构表观测值水平a1a2am1x11x12x1m2x22x22x2 mnxn1xn2xnm为了考察因素a对实验结果是否有显著性影响，我们把因素a 的 m 个水平 a1 , a2 ,am 看成是 m 个正态总体，而xij i1,2,n; j1,2,m 看成是取自第 j 总

2、体的第 i 个样品，因此，可设 xij n a j ,2 ,i1,2,n; j1,2,m 。可以认为 a jj ,j 是因素 a 的第 j 个水平 aj 所引起的差异。 因此检验因素a 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：h 0: a1a2am或者h 0: 12m0具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令 x j 表示第 j 种水平的样本均值，;.n jxiji 1x jn j式中， xij 是第 j 种水平下的第i 个观察值， n j 表示第 j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。首先，

3、总离差平方和，用sst代表，则，sst( xijx)2其中 xxij , 它反映了离差平方和的总体情况。n其次，组内离差平方和，用sse表示，其计算公式为：ssexijx j2ji其中 x j 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。最后，组间平方和，用ssassa表示，的计算公式为：22ssax j xn j xjx用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数， 然后加总，即得到 ssa。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。根据证明，sst, sse, ssa之间存在着一定的联系，这种联系表现在：sstssessa因为：22

4、xij xxijx jx jx22xijx j x2xij x j x j xx j在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，( xijx) 2( xijx j ) 2( xjx)2即sstssessa;.（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对sst来说，其自由度为n1，因为它只有一个约束条件，即(xijx) 0ssam1，这。对来说，其自由度是里 m 表示水平的个数，ssa反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：n j ( x j x)0对ssen m ，因为对每一种水平而言，其观察值个数为n j ，该水来说，其自由度为平下的自由度为

5、nj 1，总共有 m 个水平，因此拥有自由度的个数为m(n j 1)nm 。与离差平方和一样，sst, ssa, sse之间的自由度也存在着关系，即n1(m1)(nm)这样对 ssa，其平均平方msa为：msassam1对于 sse，平均平方 mse 为：msessenm（四）方差分析表由 f 分布知， f 值的计算公式为：组间方差msaf组内方差mse为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表 3.2：表 3.2 方差分析表方差来源离 差 平 方 和自由度（ df ）平均平方（ ms ） f 值（ ss）组间组内总差异ssam1msamsa/ msessenmmsesstn1;.（五）作出统计判断对于给定的显著性水平，由 f 分布表查出自由度