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1、在立体几何中运用法向量张丰远1. 求距离例1. 如图1所示，正方体的棱长为1，E、F分别为A1B1、CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离。图1分析：所谓法向量，就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两向量的乘积为0，可确定法向量。设P为平面外一点，则点P到平面的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P到平面的距离。而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之。其公式为其中，为单位法向量，PO面于点O，为面的斜线段向量。注意：只有单位法向量才不会改变射影的长度。解：设平面AEC1F的法向量为则有例2. 在例1中，若点G为AB的中点，其它条件不变，试求面的距离。分析：连结两平行平面间的

2、斜线段向量在平面法向量方向的射影，就是两平面间的距离。因此，先求出平面的斜线段向量及单位法向量，然后再求它们的数量积，即为所求距离。解：由例1得面的单位法向量为而两平面的斜线向量所以两平面的距离为注意：斜线段向量的两端点应分别在两平面上。例3 若例1中的已知条件不变，求异面直线的距离。分析：两异面直线的公垂线方向向量就是它们的法向量。因此，先求出两线的法向量和一条斜线段向量，再求出斜线段向量在单位法向量方向的射影，即为两异面直线间的距离。解：2. 求线面所成角例4. 如图2所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，侧棱D、E分别为的中点，点E在平面ABD上的射影G为的重心。求与平面ABD所成角的大小。图2分析：斜线的方向向量在平面的单位法向量上的射影与斜线段的长度之比，就是线面所成角的正弦值。设斜线段PA在面内的射影为OA，则解：如图2所示建立坐标系，因为面ABD，所以为所求角，设设面ABD的法向量为3. 求二面角的平面角例5. 在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，求面SCD与面SBA所成角的正切值。分析：如图3所示，设平面与平面的法向量分别为，则延长平面APB交于C，所以的平面角，图3所以则二面角与两法向量的夹角相等或互补。解：如图4所示建立坐标系，则有图4因为y轴平面SA

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