高三数学教案：数列的综合运用

1、专 题 训 练第十讲 :数列的综合运用学校学号班级姓名知能目标1.进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2.能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式 ,前 n 项和公式 , 强化综合运用这些公式解题的能力 .3.在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.综合脉络1. 揭示数列本质数列是一类特殊的函数 .从函数的观点看 , 对于一个定义域为正整数列与函数的关系数集 n (或它的有限子集1, 2, 3, 4, , n )的函数来说 , 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时

2、对应的一列函数值 .等差数列与函数的关系公差 d0 时 , an , sn 分别是 n 的一次函数和二次函数 . 反过来 ,如果 an 是 n 的一次函数 ,那么 an 一定是公差不为0 的等差数列 ; 如果 sn 是 n 的二次函数且常数项为 0, 那么 an 一定是公差不为0 的等差数列 .通项 an 与前 n 项和 sn 之间的关系 : a ns1(n1)sn sn1 (n.2)2. 分析高考趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础 , 数列的题目形态多变 , 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一 . 在近几年新教材的高考试题中 ,

3、 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数 , 数列与不等式等的综合知识 , 在知识的交汇点处设计题目 , 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查 , 对能力方面的要求 , 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时 , 伴随着对数学思想方法的考查 . 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占 9 左右 , 考查的内容主要有 : 等差数列、等比数列的基本知识( 定义、通项公式、前 n项和公式 ); 等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用 , 及应用数列知识解决实际问题; 函数和方程的思想 , 化归思想 , 分类讨论思想 , 待定系数法等 .( 一 )典型例题讲解 :例 1.已

4、知 f (1) 2 ,f (n 1)2f ( n)1 (nn ) , 求 f (101) 的值 .2第1页共 6页例 2.已知数列 an中 a11 ，且 a2 k a2 k 1 ( 1) k , a2 k 1a2k 3k , 其中 k 1,2,3,(1) 求 a3 , a5;(2) 求 an 的通项公式 .例 3. 在公差不为零的等差数列a n 及等比数列 bn 中 , 已知 a1 1, 且 a1 b1, a2 b2, a8 b3.(1)求数列 an 的公差 d 和 b n 的公比 q ;(2)是否存在常数a、b 使得对于一切自然数n, 都有 anlog a bn b 成立 , 若存在 , 求

5、出 a、b 的值 , 若不存在 , 说明理由 .第2页共 6页( 二 )专题测试与练习:一. 选择题1. 数列 an 的通项公式为 an1 前 n 项和为 24,则 n 为( ), 若 annn 1a. 25b. 576c. 624d. 6252. 设数列 an 是递增等差数列 , 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是( )a. 1b. 2c. 4d. 63. 设 f (n)11 n111 (n n ) , 那么 f ( n 1)f (n) 等于()1n2n 32n1a.1b.22n2n1111c.12n2d.12n22n2n4. 若数列 an 前 8项的值各异 , 且 an

6、8an 对任意 nn 都成立 , 则下列数列中可取遍 an 前 8 项值的数列为( )a. a3k 1b. a2 k 1 c. a4k 1d. a6k 1 5. 已知数列 an , 那么 “对任意的 nn , 点 pn (n, an ) 都在直线 y2x 1上 ”是 “an 为等差数列 ”的( )a. 必要而不充分条件b. 充分而不必要条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量sn (万件 )近似地满足 snn( 21n n25)(n 1,2,12) . 按此预测 , 在本年度内 , 需求量超过 1.590()万件的

7、月份是a. 5 月、 6 月b. 6 月、 7 月c. 7 月、 8 月d. 8 月、9 月二. 填空题7.数列 1 (1 2)(1 24)(122n 1 ) 前 n 项和为 _.8.设 an 是首项为 1 的正项数列 , 且 (n1)an21nan2an 1an 0 (n 1,2,3,) , 则它的通项公式是 a n_ .9. 已知一个等比数列首项为 1, 项数是偶数 , 其奇数项之和为 85, 偶数项之和为 170, 求这个数列的公比, 项数为.10. 在各项均为正数的等比数列 an 中 , 若 a5a69, 则 log 3 a1 log 3 a2log 3 a10.第3页共 6页三. 解

8、答题11. 数列 an 的前 n 项和为 sn , 且 a1 1 , an 11 sn , n1,2,3, 求3(1) a 2 , a 3 , a4 的值及数列 an 的通项公式 ;(2) a2a4a2 n 的值 .12. 有穷数列 an 的前 n 项和 s n 2n2 n, 现从中抽取某一项 (不是首项和末项 )后, 余下项的平均值是 79.(1)求数列 an 的通项 ;(2)求数列 an 的项数及抽取的项数.13. 已知等比数列 an 共有 m 项 (m3) , 且各项均为正数, a11 , a1 a2 a37 .(1) 求数列 an 的通项 an ;(2)若数列 bn 是等差数列 , 且

9、 b1 a1 , bmam , 判断数列 a n 前 m 项的和 sm 与数列 bn1 的前 m 项和 tm 的大小并加以证明 .2第4页共 6页数列的综合运用解答( 一 )典型例 例 1.解： f (1)2f (n1)f (n)1 , f (n)2(n1)1 , 故 f (101) 52 .22例 2.解：(1)a2a1(1)0, a3a233, a4a3(1) 24, a5a4所以 ,a33, a513.(2) a2k 1a 2k3ka 2k 1(1) k3k ,所以 a2 k 1a 2k13k(1) k ,同理 a2k 1a2 k 33k( 1)k 1 , , a3a13 ( 1).所以

10、 (a2k1a2k 1 )(a2 k 1a2 k 3 )(a3a1 )(3k3k13) (1) k(1)k1(1),由此得 a 2k 1a13 (3k1)1 (1) k1,于是 a 2k13k11 (1) k1.23k23k22a2 ka2 k 1( 1) k1 ( 1) k 11 ( 1) k1 ( 1)k12222 an 的通 公式 :n 1n1nn当 n 奇数 , a n32(1) 211;当 n 偶数 ,a n3 2(1) 2222例 3. 解： (1)b1a11. a1db1q, a17db1q 2q1q6d或d.05d0.q1.取q6.d5(2) a n5n4, b n6n1.假

11、存在 , 有 5n4log a 6n 1b5n4(n1) log a 6b5n4n log a 6blog a 6log a 65a56blog a 64b1.a56log a b nb 成立 .存在b1, 使 an3213,1 1.2( 二 ) 与 一. 选择题 号123456答案cbdabc二. 填空 7. sn 2n 1n 2 ;8.1 ;9. 2 ,8 ;10.10 .n第5页共 6页三.解答题11.解 : (1)由 a11, an 11 sn , n1,2,3, 得3a21 s11 a11 , a31 s21 ( a1a2 )4 , a 41 s31 ( a1a2a3 )16 ,33

12、33393327由 an 1a n1 (snsn 1 )1 a n (n2) , 得 a n 14 an (n 2),333又 a21 ,所以 an1 ( 4) n 2 (n 2),333 数列 a n 的通项公式为 an1, (n1)1( 4) n 2,( n;2)33(2) 由 (1)可知 a2 ,a 4 , a 2n 是首项为1,公比为 (4) 2 项数为 n 的等比数列 ,43311()2 n34 a2a4a2n3)2 n1.4(31() 273312. (1)ansnsn 1an4a1, a1s13.an4n1.(2)设抽去是第 k 项则有 :a1a2ak 1ak 1an79 ,n1a1a2a k1ak 1an79n79 移项得 :a1a2ak 179 ak 1an79 ,n所以抽去的是 79,ak794k179k20.13.解 : (1)设等比数列 an 的公比为 q,则 1qq27, q2 或 q3 , an 的各项均为正数, q2. 所以 an2n1.(2)由