高一数学教案：课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

1、课题： 3.1.2 用二分法求方程的近似解教学目标 ：知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件， 了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解， 并了解这一数学思想， 为学习算法做准备情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一教学重点 ：重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解教学程序与环节设计：创设情境由二分查找及高次多项式方程的求问题引入组织探究二分

2、法的意义、算法思想及方法步骤探索发现体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围尝试练习二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题作业回馈二分法应用于实际课外活动第 1页共 7页1 二分法为什么可以逼近零点的再分析；2 追寻阿贝尔和伽罗瓦第 2页共 7页教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动材料一： 二分查找 (binary-search )（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克师：从学生感兴趣的计分区联赛提高组初赛试题第15 题）某数列有 1000 个算机编程问题，引导学各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列生分析二分法的算法思进行二分法检索(binary-se

3、arch )，在最坏的情况下，需想与方法，引入课题检索（ ）个单元。 1000 10 100 500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 生：体会二分查找的思想与方法创材料二： 高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数设y f ( x) 的零点（即 f ( x)0 的根） ，对于 f (x) 为师：从高次代数方程的情一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，解的探索历程，引导学称为求根公式）生认识引入二分法的意境在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公义式，但对于高于4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（abel ）和伽罗瓦（ g

4、alois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题二分法及步骤：对 于 在 区 间 a ， b 上 连 续 不 断 ， 且 满 足师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二f ( a) f (b)0 的函数 yf ( x) ，通过不断地把函分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点组的具体步骤数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二， 使区间

5、的两个端织 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法分析条件探给定精度，用二分法求函数f ( x) 的零点近似“ f (a) f (b)0 ”、究值的步骤如下：“精度 ”、“区间中1确定区间 a ， b ，验证 f (a) f (b)0 ，点”及“ | a b |”给定精度；的意义2求区间 (a ， b) 的中点 x1；第 3页共 7页3计算f (x1 ) ：环节呈现教学材料师生互动设计若 f ( x1 ) = 0，则 x1 就是函数的零点；1生：结合引例“二分查若 f ( a) f ( x1) 0 ，则令 b = x1（此时零点找”理解二分法的算法2思想与计算原理x0(a, x1

6、) ）；若 f ( x1 ) f (b) 01生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数1， 1.5f (1.25) 00.51.25 ， 1.5f (1.375) 00.25生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于的个数的方法，并进行、精度时，即为计算的最后一步讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论第 4页共 7页例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x 7 的近似解（精确到0.1 ）解： （略）思考： 本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有

7、什么方法确定方程的根的个数？结论： 图象在闭区间 a ， b 上连续的单调函数f ( x) ，在 ( a ， b) 上至多有一个零点环节呈现教学材料师生互动设计1） 函数零点的性质师：引导学生从“数”从“数”的角度看：即是使f ( x) 0 的实数；和“形”两个角度去体从“形”的角度看：即是函数f ( x) 的图象与 x 轴会函数零点的意义，掌交点的横坐标；握 常 见 函 数 零 点 的 求若函数f (x) 的图象在 xx0处与 x 轴相切，则法，明确二分法的适用探究范围零点 x0 通常称为 不变号零点 ；与发f (x) 的图象在 xx0处与 x 轴相交，则若函数现零点 x0 通常称为 变号零

8、点 2） 用二分法求函数的变号零点二分法的条件f ( a) f (b)0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点 1） 教材 p106 练习 1、 2 题；2） 教材 p108 习题 3 1（ a 组）第1、 2 题；3） 求方程 log 3 xx3 的解的个数及其大致尝所在区间；试2 x练4） 求方程 0.9x0 的实数解的个数；习215） 探究函数 y0.3x与函数 y log 0.3 x 的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过0.1的点第 5页共 7页1） 教材 p108 习题 31（ a 组）第 36 题、（ b 组）第 4 题；2） 提高作业：1已知函数f ( x)2(m1) x 24mx2m1 作（ 1） m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交业点？回（ 2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值馈2借助于计算机或计算器，用二分法求函数f ( x)x32 的零点（精确到0.01 ）；333 的近似值（精确到0.01 ） 用二分法求环节呈现教学材料师生互动设计课查找有关系资料或利用internet查找有关高次代外数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔 （ ab