高一数学教案：向量小结与复习(1)

1、课题：向量小结与复习（1 ）教学目的：1234 加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力56 培养学生的数学应用意识教学重点：突出本章重、难点内容教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别授课类型：复习课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法 :在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲， 引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度教学过程：一、引入前面一段， 我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节，我们开始对本章进行小结与复习二本章知识1 本章知识网络结构2(1)本章的重点有向量

2、的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用3(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法ab ， a ；坐标表示法axiyj( x, y)(3)向量的长度：即向量的大小，记作a (4)特殊的向量：零向量a 0 a 0a0 为单位向量 a0 1x1x2(5)( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )y1y2第 1 页共 7 页(6)平行向量 (共线向量 )：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a b由于

3、向量可以进行任意的平移 (即自由向量 )，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量4 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型向量的加法向量的减法向量的乘法向量的数量积几何方法1 平行四边形法则2 三角形法则三角形法则1 a 是一个向量 ,满足 :2 0 时 , a 与 a 同向 ;0 时 ,a 与 a 异向 ;=0 时 ,a =0a b 是一个数1 a 0 或 b0 时 ,a b =02a0且 b0 时 ,ab| a |b | cos(a,b)坐标方法运算性质abbaab(ab)ca(bc)( x1x2 , y1y2 )ab

4、bcacaba(b)ababba( x1x2 , y1y2 )oboaab(a)()a()aaaa(x,y)( ab)aba bababba(a)ba(b)( a b)ab(ab)cacb cx1 x2y1 y2a2 | a |2 | a |x2y 2| ab | a | b |5 重要定理、公式：(1)e1 ,e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1 ,2 ，使 a1e12 e2(2)第 2 页共 7 页a ba bx1 y2x2 y10(3)a ba b ox1 x2y1 y20(4)设点 p 分有向线段 p1 p2所成的比为 ，即 p1 p p

5、p211op 1op1 1op2(线段的定比分点的向量公式 )xx1x2 ,1yy1y2 .1 (线段定比分点的坐标公式 )当 1x x1x2 , 21y1y2.op 2y（ op1 op2 ）或2(5)平移公式xxh,设点 p( x, y) 按向量 a( h, k) 平移后得到点 p ( x , y ) ，则 op op + a 或yyk.，曲线 yf (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数解析式为：y kf ( xh)(6)abc2r.正弦定理： sin asin bsin ccos ab 2c 2a 2余弦定理： a 2b 2c22bc cos a2bccos bc2a

6、2b 2b2c2a22ac cos b2cacosca2b2c 2c 2a 2b 22ab cosc2ab三、讲解范例：例 1 在四边形abcd 中， ab bc bc cd cd da da ab ，试证明四边第 3 页共 7 页形 abcd是矩形分析：要证明四边形 abcd是矩形，可以先证四边形 abcd为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直 为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考证明：设 ab a， bc b ， cd c， da d，则 a b c d o a b（ c d) a 22a b b2 c2 2c d d 2又 a b c d a2 b 2 c 2 d 2

7、（ 1同理 a d 2 b 2 c 2（ 2由 (1)(2)得 a2 c 2， d 2 b 2 a c， d b即 ab cd， bcda四边形abcd是平行四边形于是 ab cd ，即 a c又 a b b c，故 a b b（ a a b o ab bc四边形abcd为矩形评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此， 对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会例 2 设坐标平面上有三点 a、 b、c， j 分别是坐标平面上x 轴， y 轴正方向的单位向量，若向量 ab 2j， bc j，那么是否存在实数，使a、 b

8、、 c 三点共线分析：可以假设满足条件的存在，由a、b、 c 三点共线ab bc存在实数 ，使 ab bc ，从而建立方程来探索解法一：假设满足条件的存在，由a、 b、 c三点共线，即ab bc ，存在实数 ，使 ab bc 2j （ j1m2 2当 2 时， a、 b、 c 三点共线解法二：假设满足条件的存在，根据题意可知：（1，o）， j（ o， 1） ab （ 1， o） 2（ o， 1）（ 1， 2第 4 页共 7 页bc （ 1， o）（ o， 1）（ 1由 a、 b、c 三点共线，即ab bc故 1 1（ 2） o 解得 2当 2 时， a、 b、 c 三点共线评述： (1) 共线

9、向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择(2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时四、课堂练习：1(1)ab ba o(2)o ab o3） ab ac bc （ )2已知 a， b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是()a a 与 bb如果 a 与 b 平行，那么a 与 bc a b 1d a2 b2答案： d3 已知 a、b、 c是直线上的顺次三点，指出向量ab 、 ac 、 ba 、 cb 中，哪些是方向相同的向量答案： ab 与 ac 方向相同，ba 与 cb 方向相同4 已知

10、ac 为 ab 与 ad 的和向量，且ac a， bd b，分别用 a、 b 表示 ab ， ad11解： ab 2 （ abad 2 （ a b ）5 已知 abcdef为正六边形， 且 ab a， ae b，用 a，b 表示向量 de 、 ad 、bc 、ef 、fa 、 cd 、 ac 、 ce111解： de a， ab a b， bc 2 （ ab ）， ef 2 （ ab ）， fa 2 （ a b），13113cd 2 （ b a）， ac 2 a 2 b ， ce 2 b 2 a6 已知点 a( 3， 4)、 b（5， 12）(1)求 ab 的坐标及ab(2)若 oc oa o

11、b ， od oa ob ，求 oc 及 od第 5 页共 7 页(3)求 oa ob解： (1)ab （ 8， 8）， ab 82(2) oc （ 2， 16）， od （ 8， 8(3) oa ob 33五、小结通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、 公式的应用， 并加强数学应用意识， 提高分析问题、 解决问题的能力六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点例 1 已

12、知 a（ 1， 1）、b（ 1，3）、 c（2， 5），求证 a、 b、c 三点共线ab12证明：设点 b（ 1， y）是 ac 的一个分点，且b c ，则 11解得 2125y 123即点 b与点 b 重合点 b在 ac 上，点b 在 ac 上，a、b、 c 三点共线2例 2 根据下列条件，判断abc的形状(1)acosa bcosb(2)sin2 sin2b sin2c，且 c2acosb解： (1) acosa bcosb即 sinacosasinbcosbacos b2r sin acos b ,bcos a2r sin bcos asin2a sin2b 2a 2b 或 2a 2ba

13、b 或 a b 2 abc是等腰三角形或直角三角形(2) sin2a sin2b sin2c( a )2( b ) 2( c ) 2 , 2r2r2r a2b2 c2第 6 页共 7 页故 abc是直角三角形，且c9oa2cosb c ，代入 c2acosbcosb2b 45， a 45综上， abc是等腰直角三角形评注 (1)条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题(1)也可以化角为边(2)题 (1)结论中用“或” ，题 (2)中用“且”结论也就不同，切不可混淆例 3 在 abc中，若 a2 b（ b c），则 a 与 b 有何关系 ?解：由正弦定理得sin2asinb（ sinbsin

14、c sin2a sin2b sinb sinc（ sina sinb）（ sinasinb） sinbsincsin（a b） sin（ab） sinb sincsin（ a b） sincsin（ a b） sinbab b， a 2b，或 a b b(舍去 )故 a 与 b 的关系是 a2b3a 2b 2c 2tan b .例 4 在 abc中，求证 a 2b 2c 2tan c证明：由余弦定理，知a2 b2 c2 2abcosca2b2c2 2cacosba2b2c22ab coscb coscsin b cosctan b . a2b2c22ca cos bc cos bsin c cos btan c评注：对于含有a2、 b2、 c2 的形式，常用余弦定理化边为角例 5 在 abc中，已知 2sin2a 3sin2b 3sin2ccos2a