定积分应用.ppt

1、1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,4. 旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),绕 y 轴 :,(柱壳法),例1. 过原点作抛物线y = x2 + 2x + 4的两条切线， 求切线与抛物线所围图形的面积。,解：,设切点为(x, y)，,由此解得 x1= - 2，x2=2。,又因为切线过原点，故有,两条切线的方程分别为

2、y = -2x及y = 6x。,则切线的斜率为,例2. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,例3. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,例4.,解：,求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,例5. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例6. 圆 绕x= -b (0ab) 旋转一周所生成 立体的体积。,解 建立坐标系,例7. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋

3、转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,例8.,若选 y 为积分变量, 则,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的压力为,三、 引力问题,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体对质点的引力, 则需用

4、积分解决 .,例9. 设一锥形贮水池，深15米,口径20米，盛满 水，今以吸筒将水吸尽，问要作多少功？,解：,任取一小区间x, x+dx，,则直线AB的方程为,建立坐标系如图所示。,这薄层水的体积元素为,把这一部分水吸出所需做的功元素为,例10.半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的比重与水相同，现将球从水中取出,需作多少功？,相应于区间x，x+dx的球体中的薄片的体积约为,当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，,解：建立如图所示坐标系,克服重力做功为,由于球的比重与水相同，,则这部分的球由x提升到水面不做功,奇函数,(99考研),提示: 作 x 轴如图.,例

5、11.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s ,问,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,将抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功为,米重50N ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间 :,克服抓斗自重:,小窄条上各点的压强,例12., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,例13.,设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力