人教版小学三年级数学第讲 包含与排除.doc

1、第30讲 包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 64-4 20(个)点。这两个问

2、题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于A B- C。因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在AB中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条

3、长38 53- 4 87(厘米)。例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-1216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-1217(人)(见上页右下图)。由此得到参加语文或数学兴趣小组的有16 12 17 45(人)。根据包含排除法，直

4、接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 23- 5 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比

5、赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？分析与解：因423476，7663，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63。由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-6313(人)。例5 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前

6、100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。前100个自然数中能被2整除的数有1002=50(个)。由 1003 33 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100(23) 164知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有50 33- 16 67(个)。 练习301.三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加棋类比赛的共有多少人？2.某校一个歌舞表演队里，能表

7、演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？4.甲、乙两家合住在一套单元房里。甲家能够使用的面积(包括厨房、厕所、走廊等，下同)有56米2，乙家能够使用的面积有65米2，甲、乙两家都能使用的面积有30米2。求这套单元的使用面积。5.在自然数1100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？6.在自然数1100中，不能被2，3中任一个整除的数有多少个？3、张小娴说：当时间过去，我们忘记了我们曾经义无反顾地爱过一个人，忘记了他

8、的温柔，忘记了他为我做的一切。我对他再没有感觉，我不再爱他了。为甚么会这样？原来我们的爱情败给了岁月。首先是爱情使你忘记时间，然后是时间使你忘记爱情。4、张小娴说：思念一个人，不必天天见，不必互相拥有或相互毁灭，不是朝思暮想，而是一天总想起他几次。听不到他的声音时，会担心他。一个人在外地时，会想念和他一起的时光。5、张小娴说：爱情，原来是含笑饮毒酒。6、张小娴说：不被人珍视的爱情，就只是个羞耻的笑话。7、张小娴说：寂寞的人，感冒会拖得特别的久，因为她自己也不想痊愈。8、张小娴：女人放弃一个跟不上她的男人，是有志气。男人放弃一个跟不上他的女人，则是无义。9、张小娴说：清醒一点吧，世上没有未完的事

9、，只有未死的心。10、张小娴说：遗憾，也是一种幸福。因为还有令你遗憾的事情。11、张小娴说：失望，有时候也是一种幸福。因为有所期待，所以才会失望。因为有爱，才会有期待。所以纵使失望也是一种幸福，虽然这种幸福有点痛。12、张小娴说：突然觉得很委屈。我对你微笑，转身的刹那，终于难过成你不知道的样子。13、张小娴说：做一个诚实的孩子。喜欢一个人，不到一定程度，不要轻易去说喜欢。因为你的一句轻浮的话，很可能悲伤另一个人一段时光。也有的，将会是，一生。14、张小娴说：如果没有很大把握，又或者没有坚定地信念，请不要说太长久的承诺。相爱时叫承诺，不爱的时候呢？也不是谎言吧。毕竟爱着的时候就算说了地久天长，相

10、信也是出自真心。只不过后来的离开，不是自己能把握的。15、张小娴说：如果爱的足够深，又或者是用情深的人，那个曾经伤害过TA的人有天肯回头了，TA还是会很没骨气很没出息地接受。因为爱，因为忘不了。16、张小娴说：爱情结束后，请选择“沉默”.你可以喊三两最好的朋友去K歌，使劲吼，就唱那首“其实不想走，其实我想留”,然后在某个时间点突然嚎啕大哭。就算你是男生，也没什么丢人的，不难过只能说你没有真心爱过。17、张小娴说：不要在爱情结束后，把那个你曾经爱过的人到处指责，将TA说的一无是处。没必要的，既然留不住心，不如留下那份感情的纯洁度，蒙了尘，也就减损了回忆的价值。18、张小娴说：你以为不可失去的人，

11、原来并非不可失去，你流干了眼泪，自有另一个人逗你欢笑，你伤心欲绝，然后发现不爱你的人，根本不值得你为之伤心，今天回首，何尝不是一个喜剧？情尽时，自有另一番新境界，所有的悲哀也不过是历史。19、张小娴说：爱情总是想象比现实美丽，相逢如是，告别亦如是。我们以为爱得很深、很深，来日岁月，会让你知道，它不过很浅、很浅。最深最重的爱，必须和时日一起成长。20、张小娴说：开始的开始总是甜蜜的后来就有了厌倦、习惯、背弃、寂寞、绝望和冷笑曾经渴望与一个人长相厮守，后来，多么庆幸自己离开了曾几何时，在一段短暂的时光里，我们以为自己深深的爱着的一个人。后来，我们才知道那不是爱，那只是对自己说谎。21、张小娴说：时

12、间会让你了解爱情，时间能够证明爱情，也能够把爱推翻。没有一种悲伤是不能被时间减轻的。如果时间不可以令你忘记那些不该记住的人，我们失去的岁月又有什么意义？如果所有的悲哀、痛苦、失败都是假的，那该多好？可惜，世上有很多假情假义，自己的痛苦、失败、悲哀，却偏偏总是真的。22、张小娴说：一个钱币最美丽的状态，不是静止，而是当它像陀螺一样转动的时候，没人知道，即将转出来的那一面，是快乐或痛苦，是爱还是恨。快乐和痛苦，爱和恨，总是不停纠缠。所谓缘分，也和发明一样吧，都是源于偶然。爱情也是一种发明，需要不断改良。只是，这种发明跟其他发明不一样，它没有专利权，随时会给人抢走。23、张小娴说：在最有感觉的时候，她没有停下脚步，那么，也不必在一起走完那段路之后，回头去寻找那些散落在地上的感觉，路已经走完。爱情中最伤感的时刻是后期的冷淡，一个曾经爱过你的人，忽然离你很远，咫尺之隔，却是天涯。曾经轰轰烈烈，曾经千回百转，曾经沾沾自喜，曾经柔肠寸断。到了最后，最悲哀的