考研 - 线性代数 - 笔记精华 - 3打印

1、考研 - 线性代数 - 笔记精华 - 3打印 一章 行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若a为n阶方阵，则ka= kna 2、若a、b均为n阶方阵，则ab=ab 3、若a为n阶方阵，则a*=an-1 若a为n阶可逆阵，则a-1=a-1 4、若a为n阶方阵，i（i=1,2,n）是a的特征值，ai 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、

2、行列式的计算（方法） 1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 逐次行（列）相加减，化简行列式。 把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若d =a0，则ax=b有唯一解，即 x1=d1/d，x2= d2/d，xn= dn/d 其中dj是把d中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组

3、。 4、运用系数行列式a判别方程组解的问题 1）当a0时，齐次方程组ax0有非零解；非齐次方程组axb不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当a0时，齐次方程组ax0仅有零解；非齐次方程组axb有唯一解，此解可由克莱姆法则求出 第二章 矩阵 一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 3）矩阵的初等变换方法 二、难点 1、矩阵的求逆矩阵的初等变换 2、初等变换与初等矩阵的关系 三、重要公式及难点解析 1、线性运

4、算 1）交换律一般不成立，即abba 2）一些代数恒等式不能直接套用，如设a，b，c均为n阶矩阵 (a+b)2=a2+ab+ba+b2a2+2ab+b2 (ab)2=(ab)(ab)a2b2 (ab)kakbk (a+b)(a-b)a2-b2 以上各式当且仅当a与b可交换，即ab=ba时才成立。 3）由ab=0不能得出a=0或b=0 4）由ab=ac不能得出b=c 5）由a2=a不能得出a=i或a=0 6）由a2=0不能得出a=0 7）数乘矩阵与数乘行列式的区别 2、逆矩阵 1）(a1)1a 2）(ka) 1=(1/k)a1，（k0） 3）(ab)1=b1a1 4）(a1)t=(at)1 5）

5、a1=a1 3、矩阵转置 1）(at)ta 2）(ka) t=kat，（k为任意实数） 3）(ab)t=btat 4）(a+b)t=at+bt 4、伴随矩阵 1）a*aa a*=ai (ab)*=b*a* 2）(a*)*=an-2 a*=an-1 ,(n2) 3）(ka)*=kn-1a* (a*)t=(at)* 4）若r(a)=n，则r (a*)=n 若r(a)=n-1，则r (a*)=1 若r(a) 5）若a可逆，则(a*)-1=(1/a)a，(a*)-1(a-1)*，a*aa-1 5、初等变换（三种） 1）对调二行（列） 2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素 3）把某行（列）的元素的k

6、倍加至另一行（列）的对应元素 注意：用初等变换求秩，行、列变换可混用 求逆阵，只能用行或列变换 求线性方程组的解，只能用行变换 6、初等矩阵 1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2）初等阵p左（右）乘a，所得pa（ap）就是a作了一次与p同样的行（列）变换 3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵 e-1ij=eij，e(-1)i(k)=ei(1/k)，e(-1)ij(k)=eij(-k) 7、矩阵方程 1）含有未知矩阵的等式 2）矩阵方程有解的充要条件 ax=b有解b的每列可由a的列向量线性表示 r(a)=r(ab) 四、题型及解题思路 1、有关矩阵的概念及性质的命题 2、矩阵的运算（加

7、法、数乘、乘法、转置） 3、矩阵可逆的判定 n阶方阵a可逆存在n阶方阵b，有ab=ba=i a0 r(a)=n a的列（行）向量组线性无关 ax=0只有零解 任意b，使得ax=b总有唯一解 a的特征值全不为零 4、矩阵求逆 1）定义法：找出b使ab=i或ba=i 2）伴随阵法：a-1=(1/a)a* 注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在a*中，计算aij时不要遗漏(-1)i+j，当n3时，通常用初等变换法。 3）初等变换法：对(ai)只用行变换化为(ia-1) 4）分块矩阵法 5、解矩阵方程ax=b 1）若a可逆，则x=a-1b，可先求出a-1，再作乘法a-1b求出x 2）若a可逆，

8、可用初等变换法直接求出x (ab)初等行变换(ix) 3）若a不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。 第三章 线性方程组 一、重点 1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概 念及性质，基础解系的概念。 2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。 3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。 二、难点 线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间

9、的联系。 三、重点难点解析 1、 n维向量的概念与运算 1） 概念 2） 运算 若(a1,a2,an)t，(b1,b2,bn)t 加法：(a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn)t 数乘：k(ka1,ka2,kan)t 内积：（）a1b1+a2b2+,+anbntt 2、线性组合与线性表出 3、线性相关与线性无关 1）概念 2）线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 1,2,s线性相关 齐次方程组(1,l 每一个向量i(i=1,2,s)都不能用其余s-1个向量线性表出 重要结论 a、阶梯形向量组一定线性无关 b、若1,2,s线性无关，则它的任一个部分组i1,i2,i t必线性无关，它的任一延伸

10、组必线性无关。 c、两两正交，非零的向量组必线性无关。 4、向量组的秩与矩阵的秩 1）极大线性无关组的概念 2）向量组的秩 3）矩阵的秩 r(a)r(at) r(a+b)r(a)r(b) r(ka)r(a)，k0 r(ab)min(r(a)，r(b) 如a可逆，则r(ab)r(b)；如b可逆，则r(ab)r(a) a是mn阵，b是np阵，如ab0，则r(a)r(b)n 4）向量组的秩与矩阵的秩的关系 r(a)a的行秩（矩阵a的行向量组的秩）a的列秩（矩阵a的列向量组的秩） 经初等变换矩阵、向量组的秩均不变 若向量组（）可由（）线性表出，则r()r()。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的

11、向量组不一定等价。 5、基础解系的概念及求法 1）概念 2）求法 对a作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r(a)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量 （共有n- r(a)个），对自由变量阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。 6、齐次方程组有非零解的判定 1）设a是mn矩阵，ax0有非零解的充要条件是r(a)n，亦即a的列向量线性相关。 2）若a为n阶矩阵，ax0有非零解的充要条件是a0 3）ax0有非零解的充分条件是mn，即方程个数未知数个数 7、非齐次线性方程组有解的判定 1）设a是mn矩阵，axb有解的充要条件是系数矩阵a的秩等于增

12、广矩阵（a增）的秩，即r(a)r(a增) 2）设a是mn矩阵，方程组axb 有唯一解 r(a)r(a增)n 有无穷多解 r(a)r(a增) 无解 r(a)+1=r(a增) 8、非齐次线性方程组解的结构 如n元线性方程组axb有解，设,2,t是相应齐次方程组ax0的基础解系，是axb的一个解，则k11+k22+ktt+是axb的通解。 1）若1，2是axb的解，则1-2是ax0的解 2）若是axb的解，是ax0的解，则+k仍是axb的解 3）若axb有唯一解，则ax0只有零解；反之，当ax0只有零解时，axb没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解） 四、题型及解题思路 1、有关n维向量概念与性质的命题 2、向量的加法与数乘运算 3、线性相关与线性无关的证明 1）定义法 设k11+k22+kss0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！） 由bc可得abac，因此，可按已知条件