高中数学竞赛真题分类汇编 专题4 平面向量（学生版+解析版50题）

竞赛专题4平面向量

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1.（2018.全国侑三竞赛）已知AABC的外接圆圆心为。，BC>CA>AB.^

（）.

A.OAOli>OAOC>OBOC-

B.OAOB>OBOC>OAOC-

C.OBOC>OAOC>OAOB

D.OAOC>OBOC>OAOB

2.（2019・全国•高三竞赛）设P为A48C所在平面内一动点.则使得

西丽+万定+定所取得最小值的点?是mu的（）.

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.（2018•全国•高三竞赛）设〃是A48C所在平面上的一点，用b、人分别表

示向量04、OB、OC、OH.若ab+ch=bc+ah=ca+bh,则〃是A4AC

的.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

4.（2019・全国•高三竞赛）如图，在A46c的边上做匀速运动的三个点尸、5、R,当

，=0时，分别从A、B、C出发，当，=卜时，恰好同时到达6、C、A.那么，这个

运动过程中的定点是△尸。R的（）

A.内心B.外心

C.垂心D.重心

5.（2018・全国•高三竞赛）如图，在凸四边形ABC。中，A4=4,BC=3,CD=^,

2

且NAPC=NA3C=90。.则京之等于（）.

B

B.375+—

4

D.373+一29

4

6.（2018•全国高三竞赛）已知P为&ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0,那么

q•^qAPCA,•等于.

A.1:2:3B.2:3:4C.3:4:2D.4:3:2

7.（2020•浙江温州•高一竞赛）已知单位向量q,4的夹角为60。，向量”=叼+,月,

且1WXW2,1<><2,设向量Q与I的夹角为。，贝Vosa的最大值为（）.

AC口娓r577n2>/7

A・D・L・LJ・

43147

8.（2018・全国•高三竞赛）平面上的两个向量Q4、。8满足=|。却="旦

/+//=4,0408=0.若向量0C=/t0A+〃0B（4"sR）,且

卜•则|OC|的最大值是（）

A.%B.1C.2D.4

9.（2018・陕西•高三竞赛）在边长为8的正方形A8CO中，M是的中点，N定AD

边上一点，且DN=3NA,若对于常数〃?，在正方形ABCZ）的标上恰有6个不同的点

P，使湘.圉=〃7，则实数〃?的取值范围是

A.（-8,8）B.（-1,24）C.（-1,8）D.（0,8）

二、填空题

10.（2018•吉林・高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，ZACfi=|,

AC=3C=2,点P是斜边AB上一一点，且8P=2尸人，那么丽@+评说=

11.（2019・全国•高三竞赛）设AA8C的面积为1,边AB、AC的中点分别为E、F,P

为线段EF上的动点，则/=丽.定+朝的最小值为.

12.（2019.全国•高三竞赛）设P是AA8c所在平面上一点,满足刀।丽/3=2八反若

S^ABC=I,则SAPAB=------------•

13.（2019・全国•高三竞赛）在△ABC中，已知河|=2,|啊=3,网|=4,设0为

△ABC的内心，且;i?j=/lXg+〃比.则入+口=.

14.（2021・全国•高三竞赛）已知向量I=（cosa,sina）,5=（应,J7）,则|2"+5|的最大

值是.

15.（2019・全国•高三竞赛）在正四面体A8CO中，设通=!而，CF=\cDf记诙

44

和为户所成的角为夕.贝J8S<9=.

16.（2019・全国•高三竞赛）如图，己知G是aABO的重心，若PQ过点G,且

OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,贝（j'+'=.

mn

17.（2021・全国•高三竞赛）AABC中，A、B、C的对边分别为〃、b、c,。是aABC的

外心，点P满足O7=»（+O"+灰\若B=g,且而.沅=4，则A/WC的面积为

18.（2021・全国•高三竞赛）已知平面单位向量及、B、3、无，且1+5+守=0,记

y^x-a\+\x-b\+\x-c\,则y的最大值为.

19.（2021.全国.高三竞赛）已知点A满足|C5|=g,B、。是单位圆。上的任意两点，

则ACBC的取值范围是.

2（）.（2020•浙江•岛三竞赛）已知3，万为非零向量，且忖=口+母=1,贝中Z+4+忖的

最大值为，

21.（2021・全国•高三竞赛）已知两个非零向量用，“满足|同=2,恒+2同=2,则

|2加+用+网的最大值是.

22.（2021•全国•高三竞赛）设。是灰?所在平面内一点，满足西+方+定=3通,

若的面积为1,则△PA8的面积为.

23.（2021・全国•高三竞赛）已知A、B、C为AABC三内角,向量

£=kosd/,6sin=0；,|2|=a.如果当C最大时，存在动点M,使得

UUU

irntiuiunumIMCI

\MA\.\AB\.\MB\成等差数列，则yWy最大值为.

3

24.（2021・全国•高三竞赛）如图，在AABC中，A4=2,AC=5,cos/CA3=m，。是选

BC上一点,且丽=2）若点夕满足3户与4方共线，PAA.PC，则^^的值为

\AD\

25.（2021・全国•高三竞赛）若平面向量入及6的模均在区间［2,4］内，则必6的取

值范围是_________.

26.（2019•广西•高三竞赛）已知点P（—2,5）在圆C:.N+），2—2%-2），+/=0上，直线

/：3x+4y+8=0与圆C相交于A、B两点，则/元=.

27.（2019・甘肃•高三竞赛）"8C的三边分别为a、氏c,点。为“8。的外心，已知

UUUUUU

。2-2〃+°2=0，那么8C4O的取值范围是.

28.（2019・四川•高三竞赛）设正六边形A8CO即的边长为1,则

（AB+DC）（AD+BE）=.

29.（2019・重庆•高三竞赛）已知向量］.尻不满足|N|：lBl：©=l：%：3（kwZ,）,且万一方二

2（c-b）,若。为方忑的夹角，则cosa=.

30.（2018•山东•高三竞赛）在ziABC中，ZfiAC=6O°,N8AC的平分线AO交8c于

__1____

D,且有AO=：AC+/A8.若A3=8,则AO=.

31.（2018.河北.高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式：

SQOB+2S,BQC+3s<QA一

S&ABC

32.（2018・全国•高三竞赛）在等腰△ABC中，已知AC=BC=逐，点D、E、F分别

_____25

在边AB、BC、CA±,KAD=DB=EF=1.^DEDF<—,则丽.丽的取值范围是

16

33.（2018・全国•高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知。为原点，点4（7,0）,

B（0,V3）,动点C在圆（x-3『+产=4上运动，则的+。月+。。的最大值为

34.（2019・全国•高三竞赛）如图，在AA8C中，己知。为3C的中点，点M、N分别

在边AA、AC上，且AW=6,MB=4,AN=4,NC=3,NMON=90。.则

cosA=.

35.（2018・全国•高三竞赛）已知。为AABC边A8上的一点，尸为AA8c内一点，且满

足而=3通，丽=而+2而.则沁、______.

453△八8c

36.（2018・全国♦高三竞赛）已知O是AABC的外心.若AB=AC,NC4A=30。,且

口二4彳4而，则44=.

37.（2018•全国♦高三竞赛）在△ABC中，已知ZA=120。，记向量

BABCCACB

a~|ft4|cosA+函cosC''n"\c^cosA+同cos8.则。与"的夹角等于---------

38.（2018・全国•高三竞赛）如图，设G、〃分别为A4BC的重心、垂心，F为线段G〃

的中点，A48C外接圆的半径A=l.则|而而次f=.

G卞H

B

39.（2019.全国•高三竞赛）如图，M,N分别是正六边形A3C£>£F的对角线AC、

AM「N

CE的内分点，且==义=2,若B、M、N三点共线，则4=______.

ACCE

40.（2019・全国•高三竞赛）设实常数k使得方程2f+2.y2-5»，+x+），+k=（）在平面直

角坐标系X0V中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且

闷用PB|=1，则PA-PB=.

41.（2018•全国•高三竞赛）在R/AA3C中，ZC=90°,A8=c.沿向量通的方向，点

陷,也,…,将线段AB分成了〃等份.设A=M）,3=此厕

lin」6函+函'•砒+…+西7•国=.

42.（2019・全国•高三竞赛）设点。在△居（?的外部，且西-2/-3祝=0.则

q•v

•°2BC_________•

43.（2018・全国•高三竞赛）已知向量。、4满足同=1=Q6=2,且（a-c）•（力-C）=0.

则陟-d的最小值为

44.（2018•江苏•高三竞赛）在AA8C中，48=5,4C=4,且福.前=12,设。为平

面A8C上的一点，则西•（而+定）的最小值是.

45.（2018・贵州•高三竞赛）己知。为aABC所在平面上一定点，动点P满足

ABAC

其4目0,+阂，则。点的轨迹为

OP=OA+A<M+H

46.（2021・全国•高三竞赛）已知平面向量万、5、八满足|1|=2,出|=|3|=5,0<%<1,

一一2一

若51=0,那么1。-。+〃〃-口1+1}+（1一团9一口的最小值为

47.（2019•贵州•高三竞赛）在△/WC中，GX+而+交=0京痂=0.则

(tanA+tanB)tanC

tanA-tanB

48.（2021・全国♦高三竞赛）已知三个非零向量d、b>c,满足

丸|。+6+1|=①/，+/；^+小万=1（其中4为给定的正常数）.则实数，的最小值为

三、解答题

49.（2020•浙江温州•高一竞赛）若平面上的点4（4）。4（0%），4（0%）。1，-2）满

足防|=|可=|冈=6

（1）求|c4-c4］的最大值：

（2）设向量〃;=（，,〃）,/：=（c,d）,定义运算而丽.若AH-AzA?。,求

西®两+砥*西+西㊁西的取值范围.（其中。为坐标原点）

50.（2021•全国•高三竞赛）E%/^A（2cosa,sina）,〃（2cosP，sin/7）,C（2cosy,si”），其

中氏户,7£。2乃），且坐标原点。恰好为“ABC的重心，判断Sc是否为定值，若

是，求出该定值；若不是，请说明理由.

竞赛专题4平面向量

(50题竞赛真题强化训练)

一、单选题

1.(2018.全国•窗三竞赛)已知&WC的外接圆圆心为。，BC>CA>ABM

().

A.OAOli>OAOC>OBOC-

B.OAOB>OBOC>OAOC-

C.OBOC>OAOC>OAOB

D.OAOC>OBOC>OAOB

【答案】A

【解析】

【详解】

设AABC的外接圆半径为RMOAOB=R2COS2C.OBOC=R2cos2A,

丽•玩=R2cos2B又由BC>CA>AB,可知§1114>5亩8>5皿。>0.故

I-2sin2A<l-2siirB<1-2sin2C，即cos2A<cos28<cos2c.所以丽・丽〉丽.玩〉

OBOC.

2.(2019•全国•高三竞赛)设。为AA8C所在平面内一动点.则使得

中•丽+丽・定+定・所取得最小值的点?是AA8C的().

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】

【详解】

注意到

PAPB+PBPC+PCPA=PA(PA+AB)+(PA+AB)(PA+AC)+(PA+AC)PA

’・■■・2

=3⑸：2(丽+德国+丽•恁=3(而+丝产产-竺萼9-+而•北①

..__2

当中一""AC,即2为AA8C的重心时，式①取得最小值一(A8+AC),福衣.

33

故答案为C

3.（2018・全国•高三竞赛）设”是AABC所在平面上的一点，用b、外力分别表

示向量3、OB、OC、0H.若ab+ch=bc+ah=ca+bh,则”是MBC

的.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】

【详解】

[t]ab+ch=bc+ah^a-b+c-h-b-c—a-h=0,^（a-c）-（b-h）=O.

所以季•丽=0,则H8_LC4.同理，HAA.BC.

4.（2019.全国•高三竞赛）如图，在AABC的边上做匀速运动的三个点P、S、R,当

f=0时，分别从A、B、C出发，当f=ls时，恰好同时到达3、。、A.那么，这个

运动过程中的定点是A/，QR的（）

A.内心B.外心

C.垂心D.重心

【答案】D

【解析】

【详解】

APRSCR___1——————

依题意知丁==：===尤，设G为此S7?的重心，则AG=；（AP+4S+AR）,

ABBCCA3

/4通+通+4肥+（1-4闲]=：（通+/）.

所以，G为AA8C的重心.

故答案为D

5.（2018・全国•高三竞赛）如图，在凸四边形ABC。中，AB=4,BC=3,CD=~,

且乙4£9=/48。=90。.则£>肃<.A之tJ等于（）.

B

l29

C.3-73+8D.3\I3+—

4

【答案】B

【解析】

【详解】

如图由勾股定理得AC=R7?=5=2X|=2C。，且NADC=90。，则NC4D=30。.

又因乙4。。一/4。。一90。，所以，A、B、C、。四点共圆.

联结月贝IJZA3£)=Z4co=90。-30。=60°.

34z

/.BAC=a(。为锐角)，则sina=g,cosa=-(0°<a<60°).

作矩形CBAQ,则A/=8C,ZFAD=90°-(a+30°)=6()°-a.

AtrcosZE4D=3———......sinZABDcos(60°-al

sin/AOB

-4.，八△1，3.—/T,

=3x——-----------sin60°—cosa+——sina=3>/3+-1选B.

sin(90。一a)|_224

编者注：此题用复数法解答比较简洁.

金

6.(2018・全国•高三竞赛)已知P为aABC内一点,且满足2PA+3PB+4PC=0,那么,

S*HC-SAFCA-S1VA/J等于.

A.1:2:3B.2:3:4C,3:4:2D,4:3:2

【答案】B

【解析】

【详解】

如图，延长PA至D,使PD=2PA；延长PB至E,使PE=3PB：延长PC至E使

PF=4PC则PD+PE+PF=O.

从而,P为4DEF的重心.于是，有

11

=—x-----

3x433x4

1I1

=—x------S=S"w,

4x234x2

1a_I।

-X

^SPDETZ-75A乂f'fir*=—]g5匕卜.

2x332x3aD£F

7.（2020.浙江温州•高一竞赛）已知单位向量冢，A的夹角为60°，向量［石+,《，

且1WXW2,i<.y<2,设向量£与冢的夹角为%则cosa的最大值为（）.

A娓B./不D.乎

r5\-z•-----

4314

【答案】C

【解析】

【详解】

1

x+-y

由题意不cosa=2

yjx2+^y+y

，3

厂12

则cos-a=4

x24-xy+y2

+1

乂因号I4255m

7,2,所以cos2a,所以COSOmax

2/Zo14

故选：c.

8.（2018・全国•高三竞赛）平面上的两个向量。4、。3满足|<M=a,|。可=〃，且

22

a+b=4»OAO«=().若向量OC=/tCZ4+〃O6(/i,"wR),且

0-3）一/十.则的最大值是（）

A.JB.1C.2D.4

【答案】C

【解析】

【详解】

因为\OB\=b,且/+02=4，OA1OB,所以，0、A、〃三点在以A6的

中点”为圆心、1为半径的圆匕

乂QW=g（QA+O3）,OC=2OA+〃OB,则

MC=OC_OM=0_；）QA+OB

OAOB+[Lt-^\OB2=[2--^a+fz/--V2=l

V2)I2)r2)

从而，点。也在以用为I员1心，1为半径的圆匕

因此，0、A、8、。四点共圆，其圆心为M.

当。、M、。三点共线，即。。为O”的一条直径时，|。4皿=2・

9.（2018•陕西•高三竞赛）在边长为8的正方形A8CO中，”是3c的中点，N是AD

边上一点，且DN=3NA,若对于常数〃?，在正方形A8CD的标上恰有6个不同的点

p,使药7・薪=〃?，则实数〃?的取值范围是

A.（—8,8）B.（—1,24）C.（T,B）D.（0,8）

【答案】C

【解析】

【详解】

如图建立直角坐标系,A（0,0）,M（8,4）,N（0,2）,P（My）.由题意得：

PA/.p/V=（8-x,4-y）-（-x,2-y）=x2-8A-i-y2-6y+8=/?/

=（工一4）2+（），-3『="+17.即以（4,3）为圆心，而万为半径的圆与正方形四边有且

仅有6个不同的交点，易由图形知4vJ/〃+17<5=>//?G（-kO）.

二、填空题

10.(2018・吉林・高三竞赛)如图，在史角三角形ABC中，NACB吟,

AC=BC=2,点P是斜边AB上一点，RBP-2PA,那么声而।部函=

【答案】4

【解析】

【详解】

解法一：因为次=乱+/=场+:血=再+;(/+不)=：囱+：%,

所以守0+&0=22

|C4+1CB=1+1=4.

解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(2,

0),

B(0,2),P(|,有55=(2,0),在=(0,2),CP=(|,|.

84

所以丽0+&0=-+-=4.

故答案为4

11.(2019.全国•高三竞赛)设AA8C的面积为1,边区B、AC的中点分别为E、F,P

为线段EF上的动点，则/=瓶.夕。+酒的最小值为

【答案】43

【解析】

【详解】

作PD_L.BC于点D.设BC=a.

如下左图，当点D位于线段BC或CB的延长线上时，

/=（而+诙）.（而+反）+前2=和+诙.配+/之：昭+/>的,=2>6.

如下右图，当点D位于边BC上时，

/=（两+西•（而+网+5C2

2

=PD^+DBDC+a小-网唱+/

、1/a?j3a2+h：+瓜

之一%----+a=---------->—ah=73

40442an

当D为线段BC的中点以及〃=后时，上式等号成立.

综上，S

故答案为石

5必8c-1，则SWAH=•

【答案】।

【解析】

【详解】

设0为原点.则（况一丽）+（砺—9）+（反—丽）=可+而+定

-2AB-2^OD-OA）,

即3（O,-O户）=0月一OC.

故3丽=丽

得夕A||8C,且8c=3尸4

所以,Sm\B=!^MBC=T-

JJ

故答'案为:

13.（2019•全国•高三竞赛）在aABC中，已知|周=2,卜4=3,|明=4,设0为a

ABC的内心，且而=；KA+〃配.则入+口=.

【答案】；7

【解析】

【详解】

设AO与BC交于点D.

由角平分线定理知黑=当=日.

___3__2__

于是，AD=-AB+-AC.

pAOABACABAC5.

又一=—=—=—+—=-,n贝IJ

ODBDCDBDCD4

一5一1一2一

AO=-AD=-AB+-AC

939

=洒+1而+配）

5——2——

=-AB+-BC.

99

7

因此，A+//=-.

故答案为《

14.（2021・全国•高三竞赛）已知向量Z=（cosa,sina）,B=（应,J7）,则|2万+5|的最大

值是.

【答案】5

【解析】

【详解】

|2万+方区2|万|+|方区2+3=5,当tana=且时等号成立

2

故答案为：5.

15.（2019・全国•高三竞赛）在正四面体A8C。中，设通=!通，CF=1CD,记诙

44

和乔所成的角为夕.则8S，=.

4

【答案】-F

【解析】

【详解】

设正四面体棱长为4.则

BFDE=(BC+CF\(DA+AE)=CFDA+BCAE=2x4cos^-=-4.而

师卜同=J宛，#-2|阿西cos?=岳,则

16.（2019・全国•高三竞赛）如图，已知G是的重心，若PQ过点G,且

OA=d,OB=b,OP==nb,贝lJ-i-+'=

mn

【解析】

【详解】

由可知/的'=:©+5).由.、G、。=点共线有所=4通.

而可=诙-而=*+6一,痴=(;一"痴+/，

GQ=OQ-OG=nb-—(a+b)=--a+(n--)b,

333

故(卜〃+M4v

333J

1

——m---A

33

因为££不共线，所以，h

n

n——

33)

解得3〃"?=〃?+〃.故'+』=3.

mn

故答案为3

17.（2021・全国•高三竞赛）△A8C中，4、B、C的对边分别为。、b、c,。是△ABC的

外心，点户满足加=西+。"+南，若S=且而.觉=4，贝iJd/?C的面积为

【答案】2>/3

【解析】

【分析】

【详解】

由。月=。4+0"+0?，^OP-OA=OB+OC，^AP=OB+OC.

注意到(加+玩)J>沅，所以AP_L4c.

同理，BPIAC.所以。是AAAC的垂心，

BPBC=(BA+AP)BC=BABC,

所以accosB=4,ac=8,

所以SA48c=；"sinB=273.

故容案为：2G.

18.(2021・全国•高三竞赛)已知平面单位向量1、坂、3、£，且万+5+1=0，记

y=|x-J|+|x-/?|+|x-c|,则y的最大值为.

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

单位向量，、6、｝满足。+5+^=0，则有他5)=(5,4=亿万〉=?,不妨设四个向量

如图所示,分别为冰丽反、而，X在单位圆。的力B上.设I次1=加,1丽1=〃，

则彳jnr+1??+mn=3,

故有(/n+〃)2=3+mn<3+。"+”),即有〃z+〃42,

4

^.y=\x-a\+\x-b\+\x-c\=m+n+\x-c\<2+2=4.

故答案为：4.

一1

19.(2021.全国•高三竞赛)已知点A满足|。4|=相B、C是单位圆。上的任意两点,

则ACBC的取值范围是.

【答案】-13

O_

【解析】

【分析】

【详解】

ACBC=(OC-OA)(OC-OB)=OC2+^(OA+OB-OC)2-

次—加2一祝)=$丽+函2_!

————15

又03QA+CBMQ4I+IC8区二+2=不，取等可以保证，

22

故所求范围为「-：,3.

O

故答案为：「一：，3.

_O

20.(202().浙江•高三竞赛)已知九］为非零向量,且同=忖+.=1,则悔+司+忖的

最大值为.

【答案】2及.

【解析】

【详解】

解法一设>=(1.0),B=(cos0-l,sin6),则

+sin2<9=2(cosy

卜“+q+W=>y(cos<7+l)24-sin20+J(cos0-1产+sin百)<2\/2.

m=a如』+沅,且同二“所以

解法二设《则

a=n-ifi1111

^2(|/z+w|+n-m)

忻++w=«n++m而+n-m<=4

故答案为：2VL

21.(2021•全国•高三竞赛)已知两个非零向量加，“满足同-2,忻+2司-2,则

|2沅+司+同的最大值是

【答案】巫

3

【解析】

【分^11】

【详解】

设玩=(2,0),而+2*=(2cosx,2sinx),则方二(cosx-l,sinx).则:

22

12万+”|+1利=J(COSX+3)2+siifx+^/(cos.r-1)+sin^

=V10+6cosx+yJ2-2cosx

=y/3.—+2cosx+V2-2cosx

<^(3+l)^-y+2cosx+2-2cosx^

873

=----・

3

当且仅当与+2COSX=3(2-2COSK),即cosx=；时，等号成立.即最大值为孚.

故答案为：述.

3

22.(2021・全国•高三竞赛)设P是8c所在平面内一点，满足

PA+PB+PC=3AB^若△P4C的面积为1,则△A48的面积为.

【答案】5

【解析】

【分析】

【详解】

因为中+而+%=3而，所以3而+丽+恁=3丽,

即3PA=2AB-AC=2(AB--AC),

2

一?___

记AC的中点为M,于是=

因此S：=SJAM=~LMC=•

故答案为：

23.(2021・全国•高三竞赛)已知A、B、C为“IBC三内角，向量

管),|J|=四.如果当C最大时，存在动点M,使得

UUU

inmiuuuimmIMCI

|M4|、|A8|、|M制成等差数列，则篱最大值为.

26+近

【答案】

~1~

【解析】

【分析】

【详解】

⑻二夜Oss?甘+3好管=2+3-8)-|.(八+8)=2

<=>cos(A-B)=3cos(A+B)<=>2sinAsinB=cosAcosB<=>lanAtan5=—,

(anC=-lan(A+B)=3"+的一'=-2(tanA+tanB)<-4&anAlanB=-20,

tanAtanB-1

等号成立仅当tanA=tan4=巫.

2

22

令|A8|=2c,因|M4|+|M8|=4c,所以M是椭圆匚+==1上的动点.

4c-3c~

故点。。，与c,设M(x.y),则：

2222

\MCf=x2+=4c--y+y-近cy+-v-V2(?y+^―

卜-冬3--23??2

\y\<4^c.

当尸-小时，|叱|温=上芋心|优舄=绚

乙V2

㈣=述及

lABIa4

26+&

故答案为:

丁

3

24.（2021・全国•高三竞赛）如图，在中，A8=2,AC=5,cosNCA8=m，。是边

AC上一点，且丽=2反.若点产满足而与耳力共线，PALPC，则居胃j的值为

【解析】

【分析】

【详解】

因为切5=2/）不，所以至=2（〃一A/5）,即AZ5=§AQ+§AC.

因为所与而共线，所以存在实数3使得丽=%而.

___1__2___一22A___

因为AO=-A8+-AC,所以8P=CAB+—AC,

3333

从而西=而+丽=_（而一,比-丽=一（（+1）丽一,沅

斤=西+恁=后+1）通+（1-引而

所以中.定=仁+1］履+倍里一“而恁一当］一约而2.

U）（3人3J3I3J

3

因为48=2,AC=5,cosNC48=：,

所以行=4,4心2=25-4反AC=2X5X[=6,

所以万月平+小4+臼4"一年6一斗.玛x25

U)13人3J3I3J

_12812O；9

=---X—XX—2.

9

因为24_LPC，所以双院=0，即喀储一8彳一2=0,解得4=1或义=一,.

9416

因此器="T或总

33

故答案为：;或77.

416

25.（2021・全国•高三竞赛）若平面向量入B、1+5的模均在区间［2,4］内，则限5的取

值范围是_______

【答案】［-14,4］

【解析】

【分析】

【详解】

..r（a+5）2-|万|2-|5|222-42-42

a・b=------------------------>--------------=-14・

22

等号成立当且仅当他|二%|=4,1d+51=2时成立.

取边长为4、4、2的等腰“乂台，其中A8=2.

令函=7旃=5即可.

又小心更互金二入.

44

取/=5=（2,0）,等号成立.

故答案为：[74,4].

26.（2019・广西•高三竞赛）已知点P（-2,5）在圆。:/+），2一24-2），+尸=0上，直线

/：3x+4y+8=。与圆C相交于A、B两点,则靠.辰:=

【答案】-32

【解析】

【详解】

由已知求得圆C（工一1）2+0—1）2=52到直线/的距离为3,

——4

从而I8cl=5,|AB|=8,cosZABC=-.

所以而友=|丽||正cos（乃/A8C）=32.

故答案为：-32.

27.（2019・甘肃•高三竞赛）AABC的三边分别为a、b、c,点。为ZkABC的外心,已知

11UUUUU

廿一2b+c2=0,那么8CA0的取值范围是.

【答案】卜川

【解析】

【详解】

延长A0交△A3C的外接圆于。，得到

而•瓶=荷•正-而而=g而.比-g访而

因为°2=_6+3>0,所以。£（0,2）,故配莅w

故答案为：（-；，2）.

28.（2019・四川•高三竞赛）设正六边形A3c。£尸的边长为1,则

（7^+DC）（AD+BE）=.

【答案】-3

【解析】

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标

而+诟=(1,_a+(_1,_a=(0,_2扬,

于是（血+加）•屈+说）=-（O,-2x/3）=-3.

7

故答案为：-3.

29.（2019•重庆•高三竞赛）已知向量7满足mi：|6|：©=IM：3（ZwZ+）,且5-,=

2（c-b）,若a为的夹角，则cosa=.

【答案】

【解析】

【详解】

因为5—1=2仁一0，所以+所以于=1,2+±片+&万.人

33999

因为|不|=15|：|m=1：%：3,所以公=^+4+-|cosa€（2,6）.

又因为A£Z+,所以；2,所以cosa=--

故答案为:

3（）.（2018•山东•高三竞赛）在△ABC中，㈤。=60。，N8AC的平分线AO交AC于

__i_________

D,且有AO=—AC+/A8.若A3=8,则AO=_____.

4

【答案】6G

【解析】

【详解】

过点。作OE||A8交4c于点七，。b||AC交A4于点尸,

C

D

由题设芭='*+/而=荏+而，所以荏=,祝.AE=-EC,AF=tAB.

443

因止匕四=:=孚=竺=坐，所以AC=24,FA=3BF=^-ABf因此1=?.

EC3CDFAAC44

I3

4-4-=g而+押）.（；祝+萍）

1|AC|22|AB|2AACAB=IO8.

=1611+I611+16

由止匕得AD=66

31.（2018・河北•高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式:

S,4OB+2'LBOC+3sdeOA_

3QABe

【答案】2

o

【解析】

【详解】

将痂+2加+38=3而+2而+仅化为3嬴+丽+2页=0,

（OA+OB）+2（OA+OC）=0.

设M、N分别是AB、AC的中点，则0M=-20N.

I

设的面积为由几何关系知S.=S

AABCS,S&MC=：S,SMO〃=:S,&A（K6-

JJ

-S\OB+2s+3s.11

所以3^~1BOC~—co=-T.

32.（2018・全国•高三竞赛）在等腰AABC中，已知4c=8C=百，点D、E、F分别

_____25

在边AB、BC、CA±,KAD=DB=EF=I.^DEDF<—,则丽.丽的取值范围是

4

【答案】丁2

【解析】

【详解】

以D为原点、射线DB和DC分别为x和y轴正方向建立平面直角坐标系.则

A（-1,O）,B（1ZO）,C（0,2）.

设点）/&,%），其中，乂=-2百+2,%=2占+2.

y-%=-2（百+X2）=-4N，

设线段EF的中点为则_y]+y2

x]~x2=2=2-%.

22

由EF=1,W（-4x0）+（2-y0）=l.①

故（-4/『=1一（2-On1K），°<3.②