第5章-狭义相对论简介

1、第五章 狭义相对论简介牛顿力学只适用于宏观物体低速运动，高速运动的物体则应使用相对论力学。相对论5-1 力学相对论原理 伽利略变换一、经典力学时空观事件：是在空间某一点和时间某一时刻发生的某一现象（例如：两粒子相撞）。事件描述：发生地点和发生时刻来描述，即一个事件用四个坐标来表示 。1、时间间隔的绝对性设有两事件，在系中测得发生时刻分别为，；在系中测得发生时刻分别为，。在系中测得两事件发生时间间隔为，在系测得两事件发生的时间间隔为 。，。此结果表示在经典力学中无论从哪个惯性系来测量两个事件的时间间隔，所得结果是相同的，即时间间隔是绝对的，与参考系无关。图5-12、空间间隔的绝对性有一棒静止在系

2、上，沿轴放置，在系中测得棒两端得坐标为，（），棒长为，在系中同时测得棒两端坐标分别为,（），则棒长为 ，即。此结果表示在不同惯性系中测量同一物体长度，所得长度相同，即空间间隔是绝对的，与参照系无关。上述结论是经典时空观的必然结果，它认为时间和空间是彼此独立的，互不相关的、并且独立于物质和运动之外（不受物质或运动的影响）的某种东西。二、伽利略变换有两个惯性系,，相应坐标轴平行，相对以沿正向匀速运动，时，与重合。现在考虑点发生的一个事件：图5-2 按经典力学观点，可得到两组坐标关系为 或 （5-1）式（5-1）是伽利略变换及逆变换公式。 三、力学相对性原理经典力学中讲过，牛顿定律适用的参照系称为惯

3、性系。（5-1-1力学相对性原理.swf）凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。即，牛顿定律对所有惯性系都适用，或者说牛顿定律在一切惯性系中都具有相同的形式，这可以表述如下：力学现象对一切惯性系来说，都遵循同样的规律，或者说，在研究力学规律时一切惯性系都是等价的。这就是力学相对性原理。这一原理是在实验基础上总结出来的。下面我们可以看到物体的加速度对伽利略变换时是不变的。由伽利略变换，对等式二边求关于对时间的导数，可得： 及 （5-2） （注意，）式（5-2）是伽利略变换下速度变换公式。对（5-2）两边再对时间求导数，得 （5-3）式（17-3）表明：从不同的惯性系所观察到的同一质点的

4、加速度是相同的，或者说：物体的加速度对伽利略变换是不变的。进一步知牛顿第二定律对伽利略变换是不变的。5-2 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换由于经典力学认为时间和空间都是与观测者的相对运动无关，是绝对不变的，所以可以设想，在所有惯性系中，一定存在一个与绝对空间相对静止的参照系，即绝对参照系。但是，力学的相对性原理指明，所有的惯性系对力学现象都是等价的，因此不可能用力学方法来判断不同惯性系中哪一个是绝对静止的。那么能不能用其他方法（如：电磁方法）来判断呢？一、迈克耳逊-莫雷实验1856年麦克斯韦提出电磁场理论时，曾预言了电磁波的存在，并认为电磁波将以的速度在真空中传播，由于这个速度与光的传播速度

5、相同，所以人们认为光是电磁波。当1888年赫兹在实验室中发现电磁波以后，光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就完全确定了。传播机械波要介质，因此，在光的电磁理论发展初期，人们认为光和电磁波也需要一种弹性介质。十九世纪的物理学家们称这种介质为以太，他们认为以太充满整个空间，即使真空也不例外，他们并认为在远离天体范围内，这种以太是绝对静止的，因而可用它来作绝对参照系。根据这种看法，如果能借助某种方法测出地球相对于以太的速度，作为绝对参照系的以太也就被确定了。在历史上，确曾有许多物理学家做了很多实验来寻求绝对参照系，但都没得出预期的结果。其中最著名的图5-3实验是1881年迈克耳逊探测地球在以太中

6、运动速度的实验，以及后来迈克耳逊和莫雷在1887年所做的更为精确的实验。实验装置如图5-3所示，它就是对光波进行精密测量的迈克耳逊干涉仪。整个装置可绕垂直于图面的轴线转动，并保持固定不变。设地球相对于绝对参照系的运动自左向右，速度为，（5-2-1迈克尔孙莫雷实验. swf）（1）光再所有时间为 （2）光再从所用时间（如图5-4所示）设光从时，对仪器速度，对以太速度为，设光从时，对仪器速度为，对以太速度，图5-4。光从所用时间为 （对做级数展开）从系来看（地球上或仪器上），点发出的光到达望远镜时间差为。于是，两束光的光程差为。若把仪器旋转，则前、后两次的光程差。在此过程中，T中应有条条纹移过某参

7、考线。式中、均为已知，如能测出条纹移动的条数，即可由上式算出地球相对以太的绝对速度，从而就可以把以太做为绝对参照系了。在迈克耳逊-莫雷实验中，约为10m，光波波长为5000,再把地球公转速度代入，则得。因为迈克耳逊干涉仪式非常精细得，它可以观察到的条纹移动，因此，迈克耳逊和莫雷应当毫无困难地观察到有0.4条条纹移动。但是，他们没有观察到这个现象，迈克耳逊-莫雷实验的目的是寻求作为绝对参照系的以太，但是，结果令人十分失望。结论：迈克耳逊-莫雷实验否定了以太的存在。迈克耳逊-莫雷实验说明了地球上光速沿各个方向都是相同的（此时，所以无条纹移动）。迈克耳逊-莫雷实验就其初衷来说是一次失败的实验。二、爱

8、因斯坦假设1905年爱因斯坦发表一篇关于狭义相对论的假设的论文，提出了两个基本假设：1、相对性原理：物理学规律在所有惯性系中都是相同的，或物理学定律与惯性系的选择无关，所有的惯性系都是等价的。此假设肯定了一切物理规律（包括力、电、光等）都应遵循同样的相对性原理，可以看出，它是力学相对性原理的推广。它也间接地指明了无论用什么物理实验方法都找不到绝对参照系。2、光速不变原理：在所有惯性系中，测得真空中光速均有相同的量值c。它与经典结果恰恰相反，用它能解释迈克耳逊-莫雷实验。三、洛伦兹变换根据狭义相对论两条基本假设，可以导出新时空关系（爱因斯坦的假设否定了伽利略变换，所以要导出新的时空关系）。设有一

9、静止惯性参考系S，另一惯性系沿轴正向相对S 以匀速运动，时，相应坐标轴重合。一事件在、上的时空坐标与变换关系如何？1、用相对性原理求出变换关系式原点的坐标为 即 x与同时为零 可写成：。两组时空坐标是对一事件而言的，它们应有一一对应关系，即要求它们之间为线性变换，即 (5-4)同理： (5-5) 根据相对性原理，对等价的惯性系而言，(4)、(5)二式除外，它们应有相同的形式，即要求， (5-6)解(6)有 (5-7) （5-8）2、用光速不变原理求时，一光信号从原点沿轴前进，信号到达坐标为： （c不变） (5-9)(5-9)代(5-6)中上述二式两边相乘有： （）k代(5-8)中，有 或 (5

10、-10)讨论：时间与空间是相联系的，这与经典情况截然不同。因为时空坐标都是实数，所以为实数，要求。代表选为参考系的任意两个物理系统的相对速度。可知，物体的速度上限为，时洛伦兹变换无意义。 时， 或 即洛伦兹变换变为伽利略变换，叫做经典极限条件。四、相对论速度变换 在、系上测得某一质点在某一瞬时的速度 系中： ； 系中 即 及 （5-11）讨论： 时， 及 图5-6洛伦兹变换伽利略变换。例5-1：试求下列情况下，光子A与B的相对速度，（1）A、B反向而行；（2）A、B相向而行；（3）A、B同向而行。解：如图5-6、5-7、5-8所示，取系为实验室坐标系，系为与B固连的坐标系，、相应的坐标轴平行，

11、轴与A、B图5-7运动方向平行。 （1） , (2) ,(3) 图5-8.上述结果是光速不变原理的必然结果。5-3 狭义相对论的时空观在本节中，我们将从洛伦兹变换出发，讨论同时性、长度和时间等基本概念。从所得结果，可以更清楚地认识到，狭义相对论对经典的时空观进行了一次十分深刻的变革。一、同时的相对性按照牛顿力学，时间是绝对的，因而同时性（同时性是指：相对于某一惯性系来说，两个事件发生于同一刻）也是绝对的，这就是说，在同一个惯性系中观察的两个事件是同时发生的，在惯性系看来也是同时发生的。但按相对论，正如长度和时间不是绝对的一样，同时性也不是绝对的。下面讨论此问题。如前面所取的坐标系，在系中发生两

12、个事件，时空坐标为，这两个事件在系中时空坐标为，当，则在 中是同时发生的，在系看来两事件发生的时间间隔为：（5-3-1同时的相对性4.swf），若，则，即上测得此两事件一定不是同时发生的。 若，则，即系中测得两事件一定是同时发生的。若，则是否为零不一定，即系中测得两事件是否同时发生是不一定的。 从以上讨论中看到了“同时”是相对的。这与经典力学截然不同。二、长度收缩取惯性系，有一杆静止在系中的轴上，在上测得杆长：；在上测得杆长：（、在同一时刻测得）。 图 5-9 即： （5-12） 。相对观察者静止时物体的长度称为静止长度或固有长度（这里为固有长度）。相对观察者运动的物体，在运动方向的长度比相对

13、观察者静止时物体的长度短了。说明：（5-3-2长度收缩演示.swf）长度缩短是纯粹的相对论效应，并非物体发生了形变或者发生了结构性质的变化。在狭义相对论中，所有惯性系都是等价的，所以，在系中x轴上静止的杆，在上测得的长度也短了。相对论长度收缩只发生在物体运动方向上（因为，）。时，即为经典情况。例5-2：有两把静止长度相同的米尺，和，尺长方向均与惯性系的x轴平行，两尺相对系沿尺长方向以相同的速率v匀速地相向而行。试指出下列各种情况下两尺各端相重合的时间次序。 图 5-10（1）与尺固连的参照系上测量；（2）在与尺固连的参照系上测量（3）在S系上测量。 解：（1）此时，测得B尺长度缩短了，所以结果

14、如下：，；（2）此时，测得A尺长度缩短了，所以结果如下：，；（3）此时，测得A尺、B尺长度均缩短了，缩短的长度一样，所以结果如下， （同时），。例5-3：惯性系和，相对于以速率v沿x轴正向运动。时，系与系的相应坐标轴重合，有一固有长度为1m的棒静止在系的平面上，在系中测得与轴正向夹角为。在S系中测量时，（1）棒与x轴正向夹角为多少？(2)棒的长度为多少？解：（1）设、为系中测得杆长在x、y方向分量，、为系中测得杆长在、方向分量。 (2)长度缩短只发生在运动方向上。三、时间膨胀（或钟慢）在与前面相同的系和系中，讨论时间膨胀问题。设在系中同一地点不同时刻发生两事件（如：自系中某一坐标）处沿y竖直上

15、抛物体，之后又落回抛设处，那么抛出的时刻和落回抛出点的时刻分别对应两个事件），时空坐标为，时间间隔为 。在S系中测得两事件的时空坐标为，（，在运动）。在系中测得此两事件发生的时间间隔为 即 （5-13）相对观察者静止时测得的时间间隔为静时间间隔或固有时间。由上可知，相对于事件发生地点做相对运动的惯性系系中测得的时间比相对于事件发生地点为静止的惯性系系中测得的时间要长。换句话说，一时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，就比由与它相对静止的观察者观察时走得慢。（5-3-3 时间延缓1.swf）（5-3-4时间延缓2.swf）说明：时间膨胀纯粹是一种相对论效应，时间本身的固有规律（例如钟的结构）

16、并没有改变。在系中测得上的钟慢了，同样在系中测得系中的钟也慢了。它是相对论的结果。时，为经典结果。5-4 狭义相对论的动力学基础一、质量与速度的关系理论上可以证明，以速率v运动的物体，其质量为 （5-14）图5-12式中为相对观察者静止时测得的质量，称为静止质量，为物体以速率v运动时的质量。说明：物体质量随它的速率增加而增加，这与经典力学不同（质量随速度增加的关系，早在相对论出现之前，就已经从射线的实验中观察到了，近年在高能电子实验中，可以把电子加速到只比光速小三百亿分之一，这时电子质量达到静止质量的四万倍）。当物体运动速率时，（），这就是说，实物体不能以光速运动，它与洛伦兹变换是一致的。对于

17、时，与经典情况一致。二、相对论力学的基本方程1、动量 （5-15） 2、牛顿第二定律（相对论下力学基本方程）当时，。讨论：系统 动量守恒表达式。说明：相对论下力学基本方程是在洛伦兹变换下是不变的。 时，（经典情况）。相对论中的、普遍成立，而牛顿定律只是在低速情况下成立。三、质量与能量关系1、相对论动能设质点受力，在作用下位移为，依动能定理有：质点沿任一路径静止开始运动到某点处时，有 可见物体动能等于与之差。可见与有能量的含义。爱因斯坦从这里引入古典力学中从未有过的独特见解，把称为物体的静止能量，把称为物体总能量，即 （5-16） （5-17）即，物体动能=总能量-静止能量。2、质能关系式 （5

18、-18）上式称为质能关系式。说明：质量和能量都是物质的重要性质，质能关系式给出了它们之间的联系，说明任何能量的改变同时有相应的质量的改变（），而任何质量改变的同时，有相应的能量的改变，两种改变总是同时发生的。我们决不能把质能关系式错误地理解为“质量转化为能量”或“能量转化为质量”。） （经典情况）图5-13四、动量与能量之间的关系已知 即 有 （5-19）此式为能量与动量关系式。（见图5-13）五、光子情况光子静止质量为零（由可得出），例5-4：一原子核相对于实验室以0.6 c运动，在运动方向上向前发射一电子，电子相对于核得速率为0.8c，当实验室中测量时，图5-14（1）电子速率？（2）电子

19、质量？（3）电子动能？（4）电子的动量大小？解： S系固定在实验室上，系固定在原子核上，S系、系相应坐标轴平行。x轴正向取为沿原子核运动方向上。 (1) （2）（3）（4） 本章讨论了狭义相对论的时空观和相对论力学的一些重要结论，可以看出相对论揭示了时间和空间以及时空与运动物质之间的深刻联系，带来了时空观念的一次深刻变革，使物理学的根本观念以及物理理论发生了深刻的变化，相对论已被大量的科学实验所证实，是当代科学技术的基础，随着科学技术的发展，其深远影响将会更加显著。内容概要狭义相对论研究的是物体高速运动时的运动规律和时空特征。一、狭义相对论建立的条件1895年16岁的爱因斯坦在瑞士阿劳中学补习

20、时无意中想到一个“追光”的假想试验。他想：如果我以真空中的光速追随一条光线运动，究竟会看到什么现象呢？如果看到的和地球上看到的一样，即光仍然以速度相对我们运动，则显然与（经典的）速度相加定律相抵触；如果看到的是一个在空间里震荡着而停滞不前的电磁场，则麦克斯韦方程组就要失效。这就出现了一个悖论。爱因斯坦直觉地认为假设的第二种情况是不会出现的，“从一开始，在我直觉地看来就很清楚，从这样一个观察者的观点来判断，一切都应当像一个相对于地球是静止的观察者所看到的那样按同样的一些定律进行。因为，第一个观察者怎么会知道或者能够判明它是处在均匀的快速运动状态中呢？这个悖论已经包含着狭义相对论的萌芽”。（见爱因

21、斯坦文集第二卷）电磁学理论的建立是经典物理的巨大成就，也暴露了经典物理的重要缺陷。例如，真空中的光速，真空中的光速是与参考系无关的常量。这是电磁学的重要结论之一。这个结论与经典物理的速度叠加原理相悖。运动电荷产生既产生电场，又产生磁场，但在相对电荷静止的参考系中分析却只产生电场。一段导体在均匀恒定磁场中垂直磁场运动时，导体两端分别有正负电荷积累，但在相对导体静止的参考系中分析导体两端不应有正负电荷积累。麦克斯韦方程组不满足相对性原理。正是这些“缺陷”形成了科学问题。科学问题是科学发展的动力。如何解决这些问题呢？当时绝大多数物理学家倾向于放弃电磁学中的相对性原理而不怀疑经典速度相加原理，从而企图

22、通过在地面上测量光速来发现地球相对于以太的绝对运动。爱因斯坦与绝大多数物理学家相反，他毅然放弃以太假设，直觉地相信麦克斯韦方程组在运动参考系中仍然成立，即相对性原理在电磁学领域内也有效。由此出发，当他认识到“不可能绝对地测量时间，在时间和信号速度之间有着不可分割的联系”时，爱因斯坦很快于1905年建立了狭义相对论。应该说明：代表狭义相对论时空观的洛伦兹时空变换式是荷兰物理学家洛伦兹为使麦克斯韦方程组满足相对性原理于1904年提出来的，比爱因斯坦还早一年。可见，洛伦兹已经走到了发现相对论的边沿，但是由于他不愿放弃以太概念，不敢跳出经典物理的范畴，所以没有取得最后的成功。二、狭义相对论的理论框架狭

23、义相对论建立在“光速不变原理”和“爱因斯坦相对性原理”两条基本假设基础上。在两条基本假设的基础上可以推导出描述相对论时空特征的洛伦兹变换。应用洛伦兹变换可以得出同时性的相对性、长度收缩、时间膨胀等时空特征。由于相对论时空特征与绝对时空不同，描述质点动力学性质的物理量都存在重新审视和重新定义的必要性。重新定义新物理量的原则，首先是满足对应原理，即时，新定义的物理量趋于经典物理中相应的量；其次是尽量保持基本守恒定律继续成立；还要保证理论体系逻辑上的自洽性。根据相对性原理，牛顿运动定律仍保持的数学形式，在保持动量守恒定律仍然成立的条件下，根据动能定理等，重新定义动能等力学量，并建立相对论动力学理论。

24、建立在绝对时空观基础上的经典力学是狭义相对论在条件下的近似。当时，狭义相对论的一个重要结果，就是预言电子的质量随运动速度的增加而增加。1908年布雪勒实验证实电子的质量与狭义相对论的结果一致。后来大量实验证明了狭义相对论是正确的。狭义相对论已是当代物理学的主要理论基础之一。三、狭义相对论的成功和缺陷狭义相对论否定了绝对时间和绝对空间的存在；揭示了同时性、时间间隔、空间间隔、物体的质量都是相对的；只有真空中的光速、固有长度、固有时间、电荷等基本物理量具有绝对的意义；揭示了时空的统一性。这些都是具有重大意义的结论。但是，狭义相对论在某些重要问题的实质上还没有完全冲破经典时空观的束缚。狭义相对论承认

25、时空是客观存在的，可以脱离物质而单独存在。一旦参考系确定后，人们可以在该参考系中各点放置时率相同的时钟和长度相同且与放置方向无关的尺。在同一参考系中它们不论在什么条件下都将保持一致，只是在不同参考系中观察这些时钟和尺是相对的。狭义相对论只适用于惯性系，在惯性系中物理定律具有最简单的形式（例如牛顿运动定律用于非惯性系时要出现惯性力），尽管承认所有惯性系是等价的，但与一般参考系相比，无疑惯性系是一种具有特殊优越性的参考系。狭义相对论无法说明为什么惯性系具有这种特殊地位。在经典物理中，万有引力被视为超距作用，狭义相对论没有解决这一问题，所以狭义相对论不能作为研究引力的合适工具。爱因斯坦清楚地知道狭义

26、相对论的这些“缺陷”，在建立了狭义相对论之后，他向自己提出推广狭义相对论的任务，建立适用于任何参考系，包括加速参考系在内的理论，把时间、空间、物质、运动紧密结合起来，并把它用于研究引力场的问题，这就是广义相对论。四、本章重点1、狭义相对论的两条基本假设。2、洛伦兹变换。3、狭义相对论的时空观：同时性的相对性，时间膨胀，长度收缩。4、相对论质量和相对论动能。五、本章难点1、概念和结论的理解。由于人们生活在绝对时空观适用的宏观低速条件下，对于绝对时空观已经有了根深蒂固的印象。形成的思维定式就是绝对时空观。很难理解相对论时空观。2、洛伦兹变换。3、狭义相对论的时空观：同时性的相对性，时间膨胀，长度收缩。4、相对论质量和相对论动能六、应特别注意的问题1、洛伦兹变换式适用的条件。