线性方程组解的结构

1、第六节 线性方程组解的结构内容要点：一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组 (1)若记, 则方程组(1)可写为向量方程 (2)称方程(2)的解为方程组(1)的解向量. 1齐次线性方程组解的性质:性质1 若为方程组(2)的解, 则也是该方程组的解.性质2 若为方程组(2)的解, 为实数, 则也是(2)的解.注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 由上节知：线性方程组的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组的解空间. 定义1 齐次线性方程组的有限个解满足:(1) 线性无关;(2) 的任意一个解均可由线性表示.则称是齐

2、次线性方程组 的一个基础解系. 注：方程组的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若是齐次线性方程组 的一个基础解系. 则的通解可表示为 其中为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理1回答了这两个问题.定理1 对齐次线性方程组，若,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于, 其中是方程组所含未知量的个数.注：定理1的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.

3、 且 若已知是线 性方程组的一个基础解系，则的全部解可表为 (4)其中为任意实数. 称表达式（4）线性方程组的通解. 二、解空间及其维数设A为矩阵, 则n元齐次线性方程组的全体解构成的集合V是一个向量空间, 称其为该方程组的解空间, 当系数矩阵的秩时, 解空间V的维数为. 当时, 方程组只有零解, 此时解空间V只含有一个零向量, 解空间V的维数为0;当时, 方程组必含有个向量的基础解系, 此时方程组的任一解可表示为其中为任意实数.而解空间V可表示为二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组 (5)它也可写作向量方程 (6)性质3 设是非齐次线性方程组的解, 则是对应的齐次线性方程组的解.

4、性质4 设是非齐次线性方程组的解, 为对应的齐次线性方程组的解，则非齐次线性方程组的解.定理2 设是非齐次线性方程组的一个解, 是对应齐次线性方程组的通解, 则是非齐次线性方程组 的通解.注：设有非齐次线性方程组，而是系数矩阵的列向量组，则下列四个命题等价： (1) 非齐次线性方程组有解； (2) 向量能由向量组线性表示； (3) 向量组与向量组，等价； (4) .例题选讲：例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系: 例2 (讲义例1) 求齐次线性方程组的基础解系与通解.注：在第一节中，线性方程组的解法是从例1中的式直接写出方程组的全部解（通解）. 实际上可从例1中的式先取基础解系,再写出通解, 两种解法其实没有多少区别.例3 (讲义例2) 用基础解系表示如下线性方程组的通解. 例4 求解下列齐次线性方程组: 例5 求解齐次线性方程组: 例6(讲义例3) 证明例7 (讲义例4) 求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:例8 (讲义例5) 求下列方程组的通解 例9 求解下列非齐次线性方程组:例10 求解下列线性方程组:例11 (讲义例6) 设四元非齐