三角函数求值的一题多解

1、高中数学一题多解和一题多变根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：一题多解和一题多变（一）类型一：一题多解例题： 已知tan= ,求sin,cos的值分析：因为题中有sin、cos、tan，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一 根据同角三角函数关系式tan= = ，且sina2 + cos2 =1。两式联立，得出：cos2=,cos= 或者cos= - ；而sin=或者sin=- 。分析：上

2、面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan=：在第一、三象限在第一象限时：cos2 = =cos= sin=而在第三象限时：cosa=- sina=- 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tan= = = = = sin=，cos= 或sin=-，cos=-分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sin、cos、tan，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四 当为锐角时，由于tana=,在直角ABC中，设=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=

3、5xsinA= = ,cosA= =sin= ，cos=或sin= -，cos= -分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五 当为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设=AOT， 因为tan= ，则T点坐标是T(1, ),由勾股定理得：OT= OMP0AT= ，OM=, MP =, p(, ),sin= ，cos= 或sin=-，cos= -分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y= x；x2+y2=1两式联立，得出： ， 或 .T点坐标是P(-, -) P(,

4、 )sin= ，cos=或sin= -，cos= -分析： 先考虑sin、cos两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七，tan= = 4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+）= 0,其中，sin= , cos=a+=k ，kZsina=sin（k -）=sin在第一、三象限容易求出sin= ，cos= 或sin=-，cos= -分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tan= 3tan2 +8tan-3=0tan= -3,或tan=sin=2sincos=2sin= ，cos=或sin=

5、 -，cos= -判别式此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：类型二：一题多变已知且是第二象限角，求解：是第二象限角，变1：，求解：，所以是第一或第二象限角若是第一象限角，则若是第二象限角，则变2：已知求解：由条件，所以当 时，是第一或第二象限角若是第一象限角时若是第二象限角当时不存在变3：已知，求解：当时，不存在当时， 当时第一、第四象限角时，当是第二、第三象限角时，练一小手：变式1： 已知tan=-3，求sincos的值变式2：已知tan=m，求sin，cos的值变式3 ：已知sin=m，求cos，tan的值由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一