数列(专题复习.doc

1、数列（专题复习）数列（专题复习） 一、数列的概念一、数列的概念 1、 n i inn aaaaaS 1 321 2、 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 3、数列的单调性 若，则数列为递增数列 1n a n a n a 若，则数列为递减数列 1n a n a n a 巩固练习巩固练习 1、数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( ) n annan283 2 A第项B第项C第项D第项 2、已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是 n annan 2 3、数列的前项和,，则其通项为 n an14 2 nnSn 4、已知数列an中，a1a21，an2an1an 对所有

2、自然数 n 都成立，则 a10（ ） A.34 B.55 C.89 D.100 5、已知数列满足，则（ ） n a)( 13 3 , 0 * 11 Nn a a aa n n n 20 a A0BC D33 2 3 6、若数列满足，若，则的值为_ _ n a ) 1 2 1 ( , 12 ) 2 1 0( ,2 1 nn nn n aa aa a 7 6 1 a 20 a 7、设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 49 D.64 8、设数列 n a各项均为正值，且前 n 项和，则此数列的通应为( ) 1 ( 2 1 n nn a aS

3、 n a (A) an= (B) an=nn11nn (C) an= (D) an=12nn12n 9、根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 7，77，777，7777， 1，3，3，5，5，7，7，9，9 10、设，()，则的大小关系是( ) 12 1 2 1 1 1 nnn an Nn nn aa与 1 A B nn aa 1nn aa 1 C D不能确定 nn aa 1 11、已知数列的通项（） ，求数列的前 30 项中最大项和最小项 n a 99 98 n n Nn n a 二、等差数列二、等差数列 （一） 、等差数列定义：或 1 (2) nn aad n 1 (1) nn

4、 aad n （二） 、等差数列的通项公式： 1 (1) n aand （三） 、等差数列的性质 等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中aAbAab 2 ab A 在等差数列中，对任意，； n amnN() nm aanm d nm aa d nm ()mn 在等差数列中，若，且，则； n amnpqNmnpq mnpq aaaa 1、已知等差数列中，等于（ ） n a 12497 116aaaa，则， A15 B30 C31 D64 2、数列是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A.667 B.668 C.669

5、D.670 3、在 a 和 b（a b）两数之间插入 5 个数，使它们与 a、b 组成等差数列，则该数列的公差为_ 4、设是公差为正数的等差数列，若，则 （ ） n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D1201059075 5、设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于( ) A13 B35 C49 D 63 6、在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 （四） 、等差数列的求和 求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n

6、Snad 对与一个等差数列，仍成等差数列。 nnnnn SSSSS 232 , 1、已知等差数列的公差为 d，它的前 n 项和 Snn2，那么（ ） A.an2 n1，d2 B.an2 n1，d2 C.an2 n1，d2 D.an2 n1，d2 2、已知等差数列的前项和为，若 n an n S 1185212 21aaaaS，则 3、设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 53 5aa则 9 5 S S 4、设an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列的前 n n Sn 项和，求 Tn。 5、等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 10

7、0，则它的前 3m 项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 6、设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若，则（ ） 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 7、若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ） A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项 （五） 、等差数列的判断 判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法：是等差数列）常数）（ Nndaa nn ( 1 n a 中项法：是等差数列)2 21 Nnaaa nnn （ n a 通项公式法：是等

8、差数列),(为常数bkbknan n a 前项和公式法：是等差数列n),( 2 为常数BABnAnSn n a 巩固练习巩固练习 1、等差数列中，则前 项的和最大。 n a 1291 0SSa ， 2、设是等差数列的前n项和，若，则当取最小值时，_ n S n a15 1 a6 64 aa n Sn 3、已知是等差数列，其中，公差。 n a 1 31a 8d 数列从哪一项开始小于 0？ n a 求数列前项和的最大值，并求出对应的值 n ann 4、数列an、bn都是等差数列，它们的前 n 项的和为， 12 13 n n T S n n 则这两个数列的第 5 项的比为( ) (A) (B) (C

9、) (D)以上结论都不对 29 49 19 34 17 28 5、数列是首项为 23，公差为整数的等差数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始变为负的， n a 求此等差数列的公差 d 设前 n 项和为,求的最大值; n S n S 当是正数时,求 n 的最大值. n S 6、设等差数列的前项和为，已知 n an n S 0012 13123 SSa， 求出公差的范围，d 指出中哪一个值最大，并说明理由。 1221 SSS， 7、已知数列中，前和 n a，3 1 an1) 1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列是等差数列 n a 求数列的通项公式 n a 设数列的前项和为，是否存在实数，

10、使得对一切正整数都成立？若存在， 1 1 nna a n n TMMTnn 求的最小值，若不存在，试说明理由。M 三、等比数列三、等比数列 （一）定义：。 1n a (0) n aq q （二）递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广： 通项公式： 递推关系： 1 1 1 q 1、在等比数列中,，则 n a2, 4 1 qa n a 2、在等比数列中,则= n a 3 7 12,2aq 19 a 3、在等比数列an中，a28，a164， ，则公比 q 为（ ） A2B3C4D8 4、在等比数列中，则= n a2 2 a54 5 a 8 a 5、在各项都为正数的等

11、比数列中，首项，前三项和为 21，则（ ） n a 1 3a 345 aaa A33 B72 C84 D189 （三）等比数列的基本性质，),( Nqpnm其中 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成cba,bca与acbacb 2 ，注： 等比数列的必要而不充分条件. qpnm aaaaqpnm，则若 )( 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn ， 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. n a 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列. n a n a 1、在等比数列中,和是方程的两个根,则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47

12、aa 2、 在等比数列，已知，则= n a5 1 a100 109 aa 18 a 3、在等比数列中， n a 14361 3233 nn aaaaaa， 求 n a 若=+,求 n T 1 loga 2 loga n alog n T 4、等比数列的各项为正数，且（ ） n a 56473132310 18,loglogloga aa aaaa则 A12 B10 C8 D5log2 3 5、在正项等比数列 n a中， 153537 225a aa aa a，则 35 aa_ 6、求和的等比中项为( )2323 A.1 B.-1 C.1 D.2 （四） 、等比数列的求和 ) 1( 11 )1

13、( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 1、已知等比数列的首相，公比，则其前 n 项和 n a5 1 a2q n S 2、设等比数列的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 . n a 3、若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成等比数列. n a n S * Nk k S kk SS 2kk SS 23 4、一个等比数列前项的和为 48，前 2项的和为 60，则前 3项的和为（ ）nnn A83 B108 C75 D63 5、已知数列是等比数列，且 n a mmm SSS 32 3010，则， （五）

14、、等比数列的判断 定义法：为等比数列； （常数）q a a n n 1 n a 中项法：为等比数列； )0( 2 2 1nnnn aaaa n a 通项公式法：为等比数列； 为常数）qkqka n n ,( n a 前项和法：为等比数列。 n为常数）（qkqkS n n ,)1 ( n a 为等比数列。为常数）（qkkqkS n n , n a 巩固练习巩固练习 1、已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列. n a1 1 a 1 a 3 a 9 a 求数列的通项 n a 求数列的前 n 项和 Sn2 n a 2、已知等比数列an中，an0，公比 q1，则 ( ) (A) (B) 2 6 2

15、 4 2 7 2 3 aaaa 2 6 2 4 2 7 2 3 aaaa (C) (D) 2 6 2 4 2 7 2 3 aaaa的大小不确定与 2 6 2 4 2 7 2 3 aaaa 四、数列百事通（求数列的通项方法总结）四、数列百事通（求数列的通项方法总结） （一） 公式法（定义法） 1、已知数列满足，求数列的通项公式； n a) 1( 1, 2 11 naaa nn n a 2、数列满足=8， （） ，求数列的通项公式 n a 1 a022 124 nnn aaaa，且 Nn n a 3、已知数列满足，求数列的通项公式； n a2 11 , 2 1 1 nn aa a n a 4、已知

16、数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2 ,1 2 n n n a aa a n a 5、已知数列满足，求数列的通项公式； n a) 1(3, 2 11 naaa nn n a （二）累加法（适用于： ）)( 1 nfaa nn 1、已知数列满足，求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana ， n a 2、如果数列中求数列 n a 11 1,2n nn aaa (2)n n a 3、已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 14 1 , 2 1 2 11 n aaa nn n a （三）累乘法（适用于：） nn anfa)( 1 1、已知数列满足，求。 n a 3 2 1 a

17、 nn a n n a 1 1 n a （四）利用求 n S n a )2.( ) 1.(. 1 1 nSS nS a nn n 1、设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa ，a * N求数列 n a的通项； 2、已知数列满足，求的通项公式。 n a 11231 123(1)(2) nn aaaaanan ， n a （五）与的关系 n a n S 1、已知在数列中，=1，求 n a 1 a12 n n S n a 2、若，求数列的通项公式.23 nn Sa n a 3、已知数列 n a的前 n 项和为 S ，满足条件， （nN ） n ) 1( 3 1 nn aS

18、 求和 1 a 2 a 求证数列 n a为等比数列 4、已知数列中，是其前项和，并且（）且 n a n Sn24 nn aS, 3 , 2 , 1n1 1 a 设数列（） ，求证：数列是等比数列； nnn aab2 1 , 3 , 2 , 1n n b 设数列， （） ， ，求证：数列是等差数列； n n n a c 2 , 3 , 2 , 1n n c 求数列的通项公式及前项和。 n an （六）与的关系 1n S n S 1、在数列 n a中，=1，且满足关系 S = （n2）求数列 n a的通项 n a 1 a n 12 1 1 n n S S （七） 、构造模型（型，）qpaa nn

19、1 0, 1qp 1、在数列 n a中，=1，且，求数列 n a的通项 n a 1 a32 1 nn aa 2、在数列 n a中，=1，且， 求数列 n a的通项 n a 1 a23 1 nn aa （八） 、构造模型（型，）)( 1 nfpaa nn 1p 1、在数列中，求数列的通项公式 n a2 1 a134 1 naa nnn a 2、在数列中，求数列的通项公式 n a1 1 a n nn aa32 1 n a 3、在数列中，求数列的通项公式。 n a2 1 a 1 1 22 n nn aa n a （九）转化为等差与等比转化为等差与等比 1、已知数列满足，（） ，则它的通项公式什么 n

20、 a 1 1a 2 1 1 nn aa ,nN n n a 2、已知是首项为 2 的数列，并且，则它的通项公式是什么 n a 11 2 nnnn aaa a n a 3、已知数列中，. n a 1 0a 1 1 2 n n a a * Nn 求证：是等差数列；并求数列的通项公式； 1 1 n a n a 4、已知数列中，如果，求数列的通项公式 n a 1 3a 1 222 nn aan 2 nn ban n a （十）分类讨论 ，求数列 212 3(3),1,7 nn aanaa n a ，求数列 12 2 2,(3)1,3 n n a naa a n a （十一）构造差式与和式 1、设是首项

21、为 1 的正项数列，且， （nN*） ，求数列的通项公式 n a0 1 2 1 2 nnnn nanaaa n a （十二）构造商式与积式 1、在数列中，前 n 项的和，求. n a 2 1 1 a nn anS 2 1n a （十三）构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 1、设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式. n a1 1 a 2 1 2 nn aa n a 五、数列求和五、数列求和 （一） 、公式法求和（明确数列是等差数列或等比数列） n a （二）倒序相加法 1、设 f(x)=,若 S=f()+f()+f()+f(),

22、试求 S 的值。 24 4 x x 10 1 10 2 10 3 10 9 2、已知 f(x)= 1 2 x x 试求 f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(10)的值 10 1 9 1 2 1 （三）分组求和法 1、求数列的前 n 项和 8 1 3 4 1 2 2 1 1 2、已知数列的通项公式 ，求该数列的前项和 n a 1 2 2 n n ann n S （四）裂项相消法 1、求数列的前项和 ) 1( 1 , 43 1 , 32 1 , 21 1 nn n n S 2、求数列的前 n 项和 n S 1 1 nn 3、求 111 1 12123123 S n 4、数列的通项公式，

23、已知它的前 n 项和为 Sn=9， n a nn an 1 1 则项数 n= ( ) (A)9 (B)10 (C)99 (D)100 5、 在数列中，又，求数列bn的前 n 项的和. n a 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 注：一般地 时可用此法，常见等式： 1 n af nf n 1 11 ) 1( 1 nnnn an ) 2 11 ( 2 1 )2( 1 nnnn an ；) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn an )1( 1 1 nn nn an （五）错位相减法 1、在数列中，已知，求 n a n n na3) 12(

24、n S (六) 并项求和法 1、若，则= nS n n 1 ) 1(654321 100 S 2、求数列的值 22222222 10099654321 巩固练习巩固练习 1、数列中，则数列的前 30 项和为（ ） n a3,60 11 nn aaa n a A495 B-495 C3105 D2721 2、数列的通项公式是，若前 n 项之和为 10，则项数 n 为 （ ） n a 1 1 nn an A11 B99 C120 D121 3、已知数列前项和 n annnSn 2 求数列的通项公式； n a 令，求数列的前 n 项和. 1 1 nn n aa b n b n T 4、 数列中，且满

25、足 n a 1 8a 4 2a 21 20 nnn aaa 求数列的通项公式； n a 设，求。 12 | nn Saaa n S 5、已知等差数列的各项均为正数，是 n a 1 3, nn anSb前项和为 等比数列， 12233 1,64,960.bb Sb S且 求数列的通项公式； nn ab与 求证：都成立. * 12 1113 4 n nN SSS 对一切 6、已知数列 n a的各项均为正数，S 为数列 n a的前 n 项和，对任意的 nN， n 都满足关系 2S =3 n a3 n 求数列 n a的通项 n a 设数列b的通项公式 b=，其前 n 项和为 T ，求证：对任意的 nN

26、， nn 133 loglog 1 nn aa n 总有 T 1 n 六、数列求最值的方法六、数列求最值的方法 （一）化为函数方法 转化为耐克函数 如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最小？并求其最小值 n a n a 2 4nn n 如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值 n a n a 2 156 n n 转化为分式函数 如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值 n a n a 1 5 n n 转化为二次函数 如果数列的通项公式是=是单调递增数列，求 k 的取值范围。 n a n a 2 2nkn 如果该数列在第四项最小，求 k 的取值范围 （二）数列的

27、简单单调性求最值的方法： 1、如果数列的通项公式是= ， n a n a * 111 .() 12 nN nnnn 判断数列的增减 若对于一切大于 1 的自然数 n，不等式恒成立求 a 的取值范围？ 12 log (1) 123 na aa （三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法 1、数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 n a n a * 1,nnN * nN 恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由 nm aa 2、如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 n a n a * 9 () , 10 n nN * nN 恒成立，若存在，求出

28、 m，如果不存在，请说明理由 nm aa 3、如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号， n a n a * 9 (1)() , 10 n nnN * nN 有恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由 nm aa （四）数列单调性求“和”的最值的方法 1、已知数列前 n 项和为，且 n S585,() nn SnanN 求的通项公式 n a 求的通项公式 n S 问 n 为何值时，取得最小值？ n S 部分参考答案 1，3，3，5，5，7，7，9，9 解析： 将已知数列变为 1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。 可得数列的通项公式

29、为 2 ) 1(1 n n na 7、已知数列中，前和 n a，3 1 an1) 1)(1( 2 1 nn anS 求证：数列是等差数列 n a 求数列的通项公式 n a 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在， 1 1 nna a n n TMMTnn 求的最小值，若不存在，试说明理由。M 解：1) 1)(1( 2 1 nn anS nnnn nn nn nn nnn nn anannaan anan anna anan SSa anS ) 1()2() 1( 1)2() 1( 1) 1( ) 1)(1() 1)(2( 2 1 1) 1)(2( 2 1 112 12 1 1 11 11 整理得， nnn nnn aaa aanan 21 21 2 )(1() 1(2 数列为等差数列。 n a 1) 1(3 11 nn annaa， 12 2) 1(3) 1( 2 2 512 1 12 12 n ndnaa a aa aa n n 的公差为即等差数列 )32)(12( 11 1 nnaa nn 6 1 ) 32 1 3 1 ( 2 1 ) 32 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 ( 2 1 32 1 12 1 2 1 n n TNn n n