2020版江苏高考数学一轮复习学案：第69课《直线与平面垂直》(含解析) .doc

1、第69课直线与平面垂直1. 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理.2. 能够熟练运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题1. 阅读：必修2第3540页.2. 解悟：圆锥SO的形成；圆锥SO所在直线和底面内每一条半径的关系；将圆锥中的相关关系用数学语言描述；重解第39页例3，体会解题的方法和规范.3. 践习：在教材空白处，完成第38页练习第2、3、5、6题.基础诊断1. 过一点有一条直线与已知平面垂直；过一点有一个平面与已知直线垂直.2. 若a，b，c表示直线，表示平面，则下列条件中能使a的是.(填序号)ab，ac，b，c；ab，b；abA，b，ab；ab，b.解析：若直线b

2、，c相交，则a.若直线bc，则a与可能平行，可能垂直，可能相交，也可能a；a可能在平面内，也可能与平面平行；a有可能在平面内；若b，则在平面内存在两条相交直线m，n，使得bm，bn.因为ab，所以am，an，所以a.故填.3. 已知l与m是两条不同的直线，直线l平面，给出下列命题：若直线ml，则m；若m，则ml；若m，则ml；若ml，则m.其中正确的是.(填序号)解析：当直线ml时，也有可能m，故错误；根据直线与平面垂直的性质定理可知正确；由线面垂直的定义知，若直线l平面，m，则ml，故正确；因为ml，直线l平面，所以m，故正确.故填.4. 设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平

3、面内，且bm，则“”是“ab”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：因为m，bm，b，所以若，则b.又因为a，所以ba，故充分性成立；若ab，当am时，与不一定垂直，故必要性不成立，所以“”是“ab”的充分不必要条件.范例导航考向 直线与平面垂直的定义、判定及应用例1如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且ADDB，C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.解析：因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在RtABC中，由ACBC得ABC30.设AD1，由3ADDB得DB3，BC2，由余弦定理，得CD2DB2BC

4、22DBBCcos303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD.因为PDAOD，AO，PD平面PAD，所以CD平面PAB.又PA平面PAB，所以PACD.【注】 证明线面垂直或线线垂直，常常要经过 “线线垂直线面垂直”的多次相互转化.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证：(1) CDAE；(2) PD平面ABE.解析：(1) 因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，所以CD平面PAC.因为AE平面PAC，所以C

5、DAE.(2) 因为PAABBC，ABC60，所以ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，所以AE平面PCD.因为PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，所以ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，所以PD平面ABE.考向 直线与平面垂直的判定和性质的综合运用例2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB，垂足为F.求证：(1) PA平面EDB；(2) PB平面EFD.解析：(1) 连结AC交BD于点O，连结E

6、O.因为底面ABCD是矩形，所以O是AC的中点.因为E是PC的中点，所以EO为PAC的中位线，所以PAEO.又EO平面EDB，PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2) 因为PD底面ABCD，所以PDBC.因为底面ABCD是矩形，所以DCBC.因为PDDCD，PD，DC平面PDC，所以BC平面PDC.又DE平面PDC，所以BCDE.因为PDDC，E是PC的中点，所以DEPC.又PC，BC平面PBC，且PCBCC，所以DE平面PBC.因为PB平面PBC，所以DEPB.又EFPB且DEEFE，DE，EF平面EFD，所以PB平面EFD.如图，已知几何体ABCDA1B1C1D1是正方体.(1) 求A1

7、B与平面AA1D1D所成的角；(2) 求A1B与平面BB1D1D所成的角.解析：(1) 因为AB平面AA1D1D，所以AA1B即为A1B与平面AA1D1D所成的角.在RtAA1B中，BAA190，ABAA1，所以AA1B45，所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45.(2) 连结A1C1交B1D1于点O，连结BO.在正方体ABCDA1B1C1D1中，易知A1OB1D1，BB1A1O，B1D1BB1B1，B1D1，BB1平面BB1D1D，所以A1O平面BB1D1D，所以A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1，则A1B，A1O.因为A1OB90，所以sinA1BO，即A

8、1BO30，所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30.自测反馈1. 已知直线l，m，n，平面，m，n，则“l”是“lm且ln”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：当l时，则直线l垂直于平面内的任意直线.因为m，n，所以lm且ln，故充分性成立；当lm且ln时，因为m与n不一定相交，故l不一定成立，故必要性不成立，所以“l”是“lm且ln”的充分不必要条件.2. 在三棱锥PABC中，点P在平面ABC的射影为点O.(1) 若PAPBPC，则O是ABC的外心；(2) 若PAPB，PBPC，PCPA，则O是ABC的垂心.解析：(1) 如图1，连结O

9、A，OB，OC，OP.在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，所以O为ABC的外心.(2) 如图2，因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以PC平面PAB.因为AB平面PAB，所以PCAB.又ABPO，POPCP，所以AB平面POC.因为OC平面POC，所以ABCO，即CO所在的直线是ABC边AB上的高，即ABCG.同理可证AHBC，BDAC，所以O为ABC的垂心.图1图23. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF将这个正方形折成一个几何体，使得G1，G2，G3三点重合于点G，给出下列五个结论

10、：SG平面EFG；SD平面EFG；FG平面SEF；EF平面GSD；GD平面SEF.其中正确的是.(填序号)解析：因为在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，GEGFG，GE，GF平面GEF，所以SG平面GEF，故正确；因为SD与SG不平行，所以SD与平面EFG不垂直，故错误；因为SGGF，所以SF与GF不垂直，所以错误.因为SEF是等腰三角形，D是EF的中点，所以SDEF.因为GDEF，GDSDD，GD，SD平面GSD，所以EF平面GSD，故正确；设正方形的棱长为2a，则DGa，SDa.因为SG2DG2SD2，所以SD与DG不垂直，所以错误.故填.4. 若a，b表示直线，表示平面，则下列命题：若a，b，则ab；若a，ab，则b；若a，ab，则b； 若a，b，则ab.其中正确的是.(填序号)解析：a，b，由线面垂直的性质得出ab，故正确；由a，ab可得出b或b，故错误；由a，ab可得出b或b或b与