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1、第二节 行列式的计算,一、 定义法,二 、 性质法,三 、 展开定理,一、定义法,例1 计算对角行列式：,解,由定义,根据行列式的“排列逆序”定义，只能取,则列排列,的逆序数为 0 ，因此,例 2 计算行列式,解,由定义,而列排列,的逆序数为,因此,例3 计算上三角行列式（主对角线以下的元素全为0）,解,由定义 j n 只能取 n ,jn-1 可取 n 或 n 1 ，,所以,同理,因此,( 逆序数为 0 ),所以,但,例4 计算下三角行列式,解,由定义,j2 可取 1 或 2 ,所以,同理,因此,( 逆序数为 0 ),但,填空：,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即,二、 性质法,说明 行列

2、式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,推论1,如果行列式有两行(列)相同，则该行列式为 0 .,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3,则行列式的值为 0 .,性质4 如果行列式的某一行（列）元素全是 0 ，,推论2,如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例,乘以同一数 k ，等于用数 k 乘以该行列式.,行列式的某一行（列）中所有的元素都,则行列式的值为 0 .,性质5 若行列式的某行（列 ）的各元素是两个元素,之和，那么这个行列式等于两个行列式的和，即,把行列式的任一行（列）的元素乘以同一数后，,加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不

3、变.,性质法计算行列式：,目标,化为上(下)三角形行列式,记法,行列式的第 i 行：,行列式的第 i 列：,（1）交换 i、j 两行：,行列式的三种行变换记为（列的变换类似记法）,（2）第 i 行乘以 k：,（3）数 k 乘第 i 行加到第 j 行上：,性质,例5,计算,解,利用行列式的性质将其化为上三角行列式的一般步骤：,（2）把第一行分别乘以,（1）使,加到第2，3,n行的对应元素上去，于是第一列除a11外全为0；,（3）重复上面做法，把主对角元素,以下的元素全部化为0，则行列式被化为上三角行列式.,课堂练习:,1. 计算行列式,4,例 6,计算,解,例 7 计算 n 阶行列式,解,为元素,在 n 阶行列式中，,第 j 列划去后，留下来的,n-1 阶行列式,的余子式，记作,的代数余子式,三、行列式的展开定理,定义,把元素,例,求行列式,中元素,的余子式和代数余子式.,解,所在的第 i 行和,叫做元素,由三阶行列式的定义,有,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.,更一般的，有,定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，即,问题：任意一个n 阶行列式是否可以转化为若干个,n1 阶行列式来计算？,例 8 用展开定理计算,解,按第 2 列

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