函数的零点与方程的根1_第1页
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1、,3.1.1方程的根与函数的零点,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,从上面的表格，你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗？ 方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。,探究活动,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义：,注意：,零点指的是一个实数；,方程f(x)=0有实数根,等价关系:,思

2、考：零点是点吗？,求零点的方法,(1) 解方程：令f(x)=0,解x。 （2）图像法：作y=f(x)的图像，看图像与x轴的交点的横坐标。,解:（1）1；（2）0；（3）2、0、2,如图所示，用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。,动一动手,思考：通过对图象的观察，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系呢？,是否只要满足 ，就一定存在零点呢？,函数零点存在性定理,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=

3、0的根。,（1）若函数y=f(x)在区间a,b上连续，且有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？,想一想,（2）若函数y=f(x)在区间a,b上连续，且有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个零点吗？,（3）若函数y=f(x)在区间a,b上连续，且在区间(a,b)内有零点时，一定有f(a)f(b)0吗？,注意： （1）只有同时满足上述两个条件，才能说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。 （2）定理不可逆。,例1、判断函数 是否存在零点？,例2、求函数 的零点的个数？,2(2)解：作出函数的图象如下：,因为f(3)30,所以f(x)=

4、2x ln(x2)3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,2(2) f(x)=2x ln(x2)3,2(3)解：作出函数的图象如下：,因为f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。,2(3) f(x)=ex1+4x4,2(4)解：作出函数的图象如下：,因为f(4)40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一个零点。,2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+

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