书人2012期末复习题(全部80题及完全解答)(修订版)

1、书人2012期末复习题（1-40题）解答1、 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数是多少？【解】：ak=N，a+N=123，a（k+1）=123，a=41，k+1=3，k=2； N=82，2、 a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。【解】：12=223；可以形成1、2、3、4、6、12这6个约数。8=42=（3+1）（1+1）9=33=（2+1）（2+1）a=233=24；b=2232=363、 求具有15个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：15=53=（4+1）（2+1） N=2432=169=144 (20+2

2、1+22+23+24)(30+31+32)=(1+2+4+8+16)(1+3+9)=3113=403 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、1444、 如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是多少？【解】：本题就是求“完全平方数” 302=900，312=961，322=1024所以，最大希望数=9615、 一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？【解】：N=2533567 100以内最大约数=253=323=966、 一个数的约

3、数中，将所有的约数两两求和分别是3、5、6、7、9、11、12、14、15、21、22、24、25、30，这个数是多少？【解】：这个数的约数有1、2、4、5、10、20；所以这个数是20；7、 甲乙两个数都含有2、3、5这三个质因数，它们的最大公约数是60，已知甲有18个约数，乙有16个约数，且甲大于200，则甲乙分别是多少？【解】：60=2235 （a+2+1）（b+1）（c+1）=18=233 a=0，b=1，c=2；甲=22355=300；a=0，b=2，c=1；甲=22335=180；因为，甲200，所以，甲=300； （a+2+1）（b+1）（c+1）=16=422 a=1，b=1，

4、c=1；乙=22235=120；8、 有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？【解】：8=24=（1+1）（3+1）=(1+1)(1+1)(1+1) 因为个位为0，所以有因数2、5；N=235=40；Nmin=235=309、 已知a（自然数）有3个约数，那么4a有多少个约数？【解】：4a=22a；当a=4时，4a有5个约数； 当a4时，（2+1）3=9；4a有9个约数；10、 若A为质数，且AAAAAA的所有约数个数为48，则AAAAAA所有约数的和是多少？【解】：AAAAAA=A111111=A37111337 48=（a+1+1）（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）

5、=32222所以，当A=3时，约数和=（30+31+32）（70+71）（110+111）（130+131）（370+371）=138121438=663936 当A=7时，约数和=（30+31）（70+71+72）（110+111）（130+131）（370+371）=457121438=145555211、 某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？【解】：倍数4=22、3 10=25=（a+2+1）（b+1）；a=2，b=1 N=243=48 约数为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 12、 有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的

6、最大公约数最大能是多少？【解】：1111=11101=（1+2+3+5）10113、 一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有几个约数？【解】：当自然数有1个因数时，（3a+1）=100，a=33；当自然数有2个因数时，（a3+1）（b3+1）=100，a=8，b=1或a=3，b=3； （a+1）（b+1）=18或（a+1）（b+1）=16所以，这个自然数本身最少有16个约数14、 已知abc是一个质数，abcabc全部约数的和是137088，则abc等于多少？【解】137088=（abc0+abc1）（110+111）（130+131）（70+71）=(1+abc)12

7、148 （1+abc）=102；abc=10115、 A为质数，问AAAAAA有多少个约数？【解】：当A10，且A=3、7时，AAAAAA=A 111111=A37111337，243=48；当A10，且A3、7时AAAAAA=A 111111=A37111337，25=64；16、 已知一个数的最小的两个约数的和是8，最大的两个约数和是1144，求这个数是多少？【解】：因为最小的约数是1，所以8=1+7；11448=143，N=1437=100117、 求具有15个约数的最小自然数N，并求这个自然数15个约数的和。【解】：同第3题，N=144，约数和=40318、 含有6个约数的两位数有几个

8、？【解】：6=（5+1）=（1+1）（2+1） 25=32、232=18、252=50、272=98、223=12、225=20、227=28、2211=44、2213=52、2217=68、2219=76、2223=92、352=75，325=45、327=63、3211=99，共16个；19、 写出360到630的自然数中，有奇数个约数的数【解】：361=192，400=202，441=212，484=222，529=232，576=242，625=252；20、 在一个数的约数中，将所有不同的约数两两求和，所有的和中，最小的是4，最大的是2012，求这个数是多少？【解】：4=1+3，20

9、124=503；N=5033=150921、 A、B两个数只含有质因数2和5，它们的最大公约数是100，且A有15个约数，B有12个约数，求A和B？【解】：100=2252（a+2+1）（b+2+1）=15，a=2，b=0；A=2452=400或=2254=2500；（a+2+1）（b+2+1）=12，a=1，b=0；A=2352=200或=2253=500；所以A=400、B=500或A=2500、B=200。22、 100以内只有4个约数的自然数共有多少个？【解】：23=8、33=27、23=6、25=10、27=14、211=22、213=26、217=34、219=38、223=46、

10、229=58、231=63、237=74、241=82、243=86、247=94、35、372+14+9+5+2=3223、 求不大于60的，约数个数最多的自然数有哪些？【解】：60=223512=322=（a+1+1）（b+1）（c+1）24、 有一个只含有质因数2和5的自然数，且它的所有约数和为217，求这个自然数？【解】：217=731=（20+21+22）（50+51+52）=731 N=2252=10025、 有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？【解】：同第8题，因为个位是0，所以有因数2、5， 8=42=（3+1）（1+1）=222 N=235=40；N=23

11、5=3026、 数A=（22222）（333）（55）7有许多约数，其中最大的两位数约数是多少？【解】：最大两位数约数=（22222）3=9627、 有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？【解】：2800=24527 10=25=（4+1）（1+1），A=247=112； 9=33=（2+1）（2+1），B=2252=10028、 边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形有多少个？【解】：210=2357，个数=（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=16 162=8个29、 已知自然数N，它能被3、4、5整除，且有24个约数，求满

12、足条件的最小N?【解】：24=（a+1）（b+2+1）（c+1）=2223 a+1=2，b+2+1=4，c+1=3；a=1，b=1，c=2；N=32352=600 或 N=52332=360; a+1=2，b+2+1=6，c+1=2；a=1，b=3，c=1；N=3255=480;a+1=4，b+2+1=3，c+1=2；a=3，b=0，c=1；N=33225=540;所以，N=360 30、 某个自然数有12个约数，并且它的所有的约数和为195，问这个数是多少？【解】：195=5313=1513，12=223=43=26， 15=（20+21+22+23），13=（30+31+32） N=233

13、2=72 31、 100以内约数个数最多的自然数有5个，它们分别是几？【解】：约数个数最多=43=322=62=12 a3b2或a2bc或a5b N= 2332=72；N=3322=108；N= 2352=200； N= 2235=60；N= 2237=84；N= 22311=132；N= 3225=90；N= 253=96N：60、72、84、90、9632、 某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和其本身在内共有15个约数，这个自然数是多少？【解】：（a+2+1）（b+1）=15，a+2+1=5，b+1=3；a=2，b=2； N=2432=144；N=2234=32433、 求自然数N，它能

14、被4和49整除，且有12个约数。【解】：4=22，49=72；12=43；N=2372=392或N=2273=137234、 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数，求这个两位数？【解】：78=2313， 则a+b=13，a-b=3，a=8，b=5；a+b=6，a-b=2；b=2，a=4；当b=0时，a+b=2，a-b=2；a=2；a+b=3，a-b=3；a=3；a+b=6，a-b=6；a=6；N=85；42；20、30、60； 35、 将一个两位数的十位数字减去它的个位数字，所得到的数是12的大于1的约数，求满足这个条件的两位数有几个？、【解】：1

15、2的约数：1、2、3、4、6、12； 满足a-b=2，有8个； 满足a-b=3，有7个； 满足a-b=4，有6个； 满足a-b=6，有4个； 8+7+6+4=25个36、 20n是123420112012的因数，则自然数n最大是多少？【解】：20=225； 满足条件需要看含5的因数； 2012/5=402，整除5含有402个； 2012/25=80，整除25含有80个； 2012/125=16，整除125含有16个； 2012/625=3，整除625含有3个；所以n=402+80+16+3=50137、 如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么ab有多少个不同的约数？【解】：当ab时（4+1）（4+1）=25 当a=b时，（4+4+1）=938、 一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成了7，得出的乘积是756，问正确的乘积是多少？【解】：756=223337=2728； （27+2）