微分方程模型及软件求解.ppt

1、微分方程模型及软件求解,河南科技大学数学与统计学院,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。,建立微分方程模型的方法,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,（3）模拟近似法,在生物、经济等

2、学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,微分方程模型,古尸的年代鉴定问题 放射性核废料处理问题 流入-流出问题 人口问题 生物种群模型 兰彻斯特（Lanchester） 作战模型,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？,一 古尸年代鉴定问题,年代测定方法是1

3、949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。,背景,宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的 。从古至今，碳 不断产生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。 大气中 处于动态平衡状态， 经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。,基本原理,从星际空间射到地球的射线,裂变速率与剩余量成正比。 Kc14=1/8000,设 t 为死后年数，,建立模型,以前 ，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入

4、密封的圆桶里，然后扔到水深为300英尺的海里。,生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？,美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。,又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？,美国原子能委员会：决不会。,二 放射性核废料处理问题,圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英 尺/秒？,若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时， 就会因碰撞而破裂。,这几位工程师通过大量的实验证明:,通过建立数学模型来解决这一问题。,1 一些参数及假设：,假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即,受力分析：,x,y,G,f,o,2 建模与求解,根据牛顿第二定理

5、,可解得：,极限速度为：,将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于,代入：,其解为：,仍未解出 v 是 y 的显函数。,由近似公式,3 结论：,若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒， 会因碰撞而破裂。,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。,我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。,一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。,通过

6、解决此问题想到什么？,三 流入-流出问题,B,A,第一步列方程,等量关系：,水面1,水面2,设时刻 的水面高度为,时的水面高度为,时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。,是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离,初始条件,可分离变量的方程。,第二步解方程,得水面高度与时间的函数关系为,水流空所需时间为(令h=0),思考1,一截面积为常数A，高为H的水池，其池底有一横截面积为B的小孔，水池顶部有进水孔，单位时间进水量为 V ，从小孔流出的水速为 ，求在任一时刻的水面高度（设开始时水池水的高度为 ）。,等量关系：,时间内水池的积水量 = 进水量 - 出水量 。,初始

7、条件,可分离变量方程,四 人口模型,简单模型 Malthus 模型 Logistic模型,人口问题,问题的提出 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染 是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五 大问题之首。 人口在不断的增长， 其增长有无规律可循？ 目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。 建模准备 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。 近一千年人口统计比较精细。看下图。,1800,10,人口（亿） 年,1930,20,1960,30,1974,40,1987,50,1999,60,2033,100,我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：,1760,2,人口

8、（亿） 年,1900,4,1953,6,1974 计划生育,9.2,1990,11.6,2005,13,联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。,1989,11,1995,12,三 建立模型,1 简单模型,要预报未来若干年的人口数，两个重要因素： 当前的人口数 ，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）,一年后，人数增加到,k 年后，人口数为,若想知道任何时刻的人口数，怎么办？,对时间连续化！,两年后，,2 Malthus 模型,马尔萨斯 ( Malthus 1766-1834)是英国的人口学家。他根据 百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。 基本假设： 人口净相

9、对增长率为常数。净相对增长率是单 位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。,设净相对增长率为 ， 时刻人口总数为 。,经 时间后人口总数为,Malthus 模型,求解,o,t,N,N0,分析,数据表明，在17001961年 期间，世界人口吻合较好。 在此期间，人口约35年增长 一倍。,按模型计算，取,问题：利用此模型能预测未来吗？,1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus 模型计算， 到2692年人口总数将增至,地表面积为,平方英尺，其中只有28%的陆地,表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积， 那么，能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。,2）资源能否提供保

10、证如此多人口的需要？,以上两点说明， Malthus 模型只适用于人口相对少时的情 形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增 加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用 愈来愈明显。,如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以 视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随 人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报 更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对 增长率为常数的假设。,3 Logistic模型（阻滞增长模型）,假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。,r 表示人口的自然增长率。,令K为人口的最大容纳量，那么,即,阻滞因子,

11、Logisitic模型,求解,N(t)的图形请看右图,-Logisitic模型,调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。,更复杂的人口模型,Gompertz模型,五 生物种群模型,1 简介,种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。,种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。,种群分为单种群和多种群。,单种群的数学模型：,1)马尔萨斯(Malthus)模型,表示 时刻的种群数量， 称为内禀增长率。,2) 罗杰斯特(Logistic)模型,表示该种群的最大容纳量。,应用广泛：细菌繁殖，元素的放射性， 岩石的剥 蚀与沉积，高山的隆升， 新产品的推销，流行病 的传

12、播，谣言的传播等问题。,2 两种群的一般模型 两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形， 相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 时刻的数量为 ，则 线性化，得,表示甲（乙）种群的自然生长率； 表示甲（乙）种群为非密度制约， 表示甲（乙）种群为密度制约； 表示甲、乙种群相互竞争； 4) 表示甲、乙种群相互依存； 5) 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。,一 问题的提出 第一次世界大战期间，战争给人们带来了许多灾难。一场 战争的结局怎样，是人们关心的问题，同样也引起了数学家们 的注意，能用数量关系来预测战争的胜负吗？ F.W.Lanchester 首先提出了一些预测战争结局

13、的数学模型， 后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历 史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战 和1975年结束的越南战争。 Lanchester作战模型虽然比较简单，对局部战争还是有参考 价值，为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。,六 兰彻斯特（Lanchester） 作战模型,分析： 影响战争的因素： 兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的 优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等。 抓主要矛盾： 兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术。若武器配备 与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题。,问题：两军对垒，甲军有 个士兵，乙

14、军有 个士兵， 试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。,假设： 甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。设 时刻甲、乙双方的人数分别为 2) 甲、乙双方人员的变化主要是战斗减员、非战斗减 员和增援部队。以甲方为例，设 分别表示非战斗减员率、战斗减员率和增援率。 则有 3) 假设,i) 正规战争：甲方的战斗减员率与乙方的士兵数成正比， 即 ， 表示乙方每个士兵对甲方士兵的杀伤 力，称为乙方的战斗有效系数。进一步可分解为 乙方的射击率（单位时间内乙方每个士兵的射击次数） 乙方每次射击的命中率。 ii) 游击战： 甲方的战斗减员率不仅与乙方的士兵数成正 比，而且与甲方士兵数成正比，即 而

15、乙方的战斗有效系数可分解为 表示甲方士兵的活动范围的面积； 表示乙方每个士兵每次射击的有效区域的面积。,3 建模 正规战争：正规部队与正规部队作战 2) 游击战争：游击队与游击队作战 3) 混合战争：游击部队与正规部队作战,求解与分析 不考虑增援，即孤军作战；同时忽略非战斗减员。 正规战争 其奇点 为鞍点。 即轨线方向沿此直线指向原点，双方战平。 轴为虚轴，轨线与 轴有交点 ，即存在 ，使 ，这表明乙方获胜; 同理可知当 ，甲方获胜。,例 正规战争 ，当初始值为 时，通过画图分析甲乙双方的胜败情况。,（i）取b=25/9, c=1, 利用Matlab作图可得,K=0,双方战平,乙,甲,(ii)

16、 取b=3,c=1, 由Matlab 作图可得,(iii) 取b=2, c=1, 由Matlab 作图可得,K0, 乙方胜利,K0, 甲方胜利,甲,甲,乙,乙,进一步分析乙方取胜的条件 当 即乙方想要获胜必须增加最初战斗力和战斗有效系数。 当 增加2倍时， 也增加2倍； 当 增加2倍时， 却增加4倍。 这正是两军作战时Lanchester平方定律的意义，说明兵员 增加战斗力大大加强。 现在，解决开始所提的问题。 问题：两军对垒，甲军有 个士兵，乙军有 个士兵， 试计算战斗过程中双方的伤亡情况，并预测战斗的结局。,若 因此，甲军胜利，乙军失败。存在时刻 当 时，由 计算得 即甲军战死13人，乙军

17、50人全军覆灭。,2) 游击战争,3) 混合战争（甲方为游击战，乙方为正规战）,若以正规部队作战的乙方火力较强，但其对方活动范围 较大。可设 则 即 ，乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜。 美越战争中，美国最多能派出6倍于越南的兵力，因此结局是美国不得不接受和谈并撤军，而越南获胜。,软件求解,1 利用Matlab求解 2 利用Mathematica求解 3 利用Maple求解,例 1 求常微分方程 的通解，然 后求解在初值条件 的数值解。,Step 1：编辑M文件 clear all syms y % syms is the symbol variables x and a S1=dsolve

18、(Dy=-y/8000); %D is the first order derivative S2=dsolve(Dy=-y/8000,y(0)=y0); S=S1,S2 Step 2：点击“Run”，在命令窗口得到 S = C1*exp(-1/8000*t), y0*exp(-1/8000*t),例 2 求常微分方程 的通解。,Step 1：编辑M文件 clear all syms v G F m c S=dsolve(Dv=(G-F-c*v)/m,v(0)=0) Step 2：点击“Run”，得到 S =exp(-c/m*t)*(-G+F)/c-(-G+F)/c,例 3 求二阶常微分方程 的通解。,Step 1：编辑M文件 clear all syms x y %D2,D3 are the second and third % order derivative,respectively S=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x) Ste