高等数学 第十二章 无穷级数

1、.,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第九章 主 要 内 容,.,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散性；,求幂级数收敛域；,求和函数；,函数展开成幂级数.,当 时为数项级数;,当 时为幂级数;,对于函数项级数,.,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用其它方法判别,*积分判别法,部分和极限,比值审敛法,一、数项级数的审敛法,.,正项级数比较审敛法,设 与 是两个正项级数，且,则：若级数 收敛，则级数 也收敛；,若级数 发散，则级数

2、 也发散.,常用来比较的级数：,.,例如,（2）等比级数,例如,.,极限形式的比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且,若,则级数 与级数 同时收敛，同时发散；,若 且级数 收敛，则级数 收敛；,若 且级数 发散，则级数 发散.,.,3. 任意项级数审敛法,则交错级数,收敛 ,且余项,.,例1 判别下列级数的敛散性:,解答提示: (1),据极限形式的比较判别法, 原级数发散 .,因调和级数发散,.,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数 收敛 再由比较法可知原级数收敛 .,利用比值判别法, 可知原级数在 时发散， 时收敛； 时仅当 收敛.,.,例2 讨论下列级数的绝对收敛性与

3、条件收敛性:,提示: (1),P 1 时, 绝对收敛 ;,0 p 1 时, 条件收敛 ;,p0 时, 发散 .,(2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛,原级数绝对收敛 .,故,.,因,单调递减, 且,但,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz判别法知级数收敛 ;,.,因,= 故原级数绝对收敛 .,.,二、求幂级数收敛域的方法,.,例4 求下列幂级数的收敛域 D.,1）,解：,收敛区间,因为,所以收敛域,.,2）,解：,收敛区间(-1,3).,因为,所以原级数收敛域为 -1,3).,.,1）,解：, ，原级数收敛.,例5 求下列幂级数的收敛半径 R .,.,2）,解：,时,收敛 .,.,

4、求部分和式极限, 初等变换法: 分解、套用公式,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,求和,三、幂级数和函数的求法,.,熟悉常用函数的幂级展开式：,1、,2、,3、,4、,.,5、等比级数：,注意：,.,例6 求幂级数 的和函数.,解法1：,先求出收敛区间,则,设和函数为,.,解法2： 易求出级数的收敛域为 ，,原式,.,例7 求幂级数 的和函数.,x0，,.,显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,级数发散,.,解：, 收敛域为（-1，1）.,设,.,解: 原式 =,（参见例6 ，也可用间接法解本题.）,.,（间接法）求数项级数和：,将其转化成幂级数求和函数问题.,原式,推广： ， .,.,求,收敛域为（-1，1） .,例11,求 的和.,代入求和:,解：设,.,四、函数的幂级数展开法,.,熟悉常用函数的幂级展开式：,1、,2、,3、,4、,5、等比级数：,.,例12,1）,2）,3）,4）,.,例13,将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,.,练 习 题,.,.,.,.,.,.,练习题简答,一、1. B； 2.