高等数学第十章多元函数微分学

1、第十章 多元函数微分学一、 本章提要基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度 基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数隐函数微分法：拉格朗日乘数法定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件二、要点解析问题 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分

2、学相互对应的由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u=f(P)，它称为点函数利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成PP0limf(P)=A,limf(P)=f(P0) PP0（）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向

3、这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源例如，考察二元函数的极限limxy， x0x2+y2y0容易看出，如果先让x0再让y0，那么lim(limy0x0xy)=lim0=0， 22y0x+y同样，先让y0再让x0，也得到lim(limx0y0xy)=0， 22x+y但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k0)而趋于(0,0)，则有xykx2klim2=lim=， 2x0x+y2x0x2(1+k2)1+kykx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限limxy x0x2+y2y0不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但

4、是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立考察函数xy22,x+y0,2z=f(x,y)=x+y2x2+y2=0,0,fx(0,0)=limx0 f(0+x,0)-f(0,0)0-0=lim=0， x0xx同样 fy(0,0)=limy0f(0,0+y)-f(0,0)0-0=lim=0， y0yy所以f(x,y)在(0,0)点可导然而，我们已经看到极限limf(x,y)=limx0y0xy x0x2+y2y0不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的因为偏导数fx(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0

5、处关于x的导数它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续同理，偏导数fy(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续（）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，

6、即全微分存在，那么有全增量的表达式z=fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y+o()其中当0时，o()0，从而limz=0， x=0y=0因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy （）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连问题 如何求多元函数的偏导数？解析

7、 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用例1 设z=esiny,求xyzz, xyz=yexysiny， x解 直接求偏导数z=xexysiny+exycosy ， y利用全微分求偏导数

8、dz=sinydexy+exydsiny=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy， 所以 zz=yexysiny,=xexysiny+exycosy xyzz, xy例2 设z=f(exy,siny),求解 由复合函数求导法则，得z=f1(exy,siynx)yey， xz=f1(exy,siny)exyx+f2(exy,siny)cosy， y其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得例3

9、说明函数f(x,y)=1-x2+y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值-x1-(x)2-1f(0+x,0)-f(0,0)解 lim， =lim=limx0x0x0xxx此极限不存在，所以在(0,0)处fx(0,0)不存在同理 y0lim-yf(0,0+y)-f(0,0) ， =limy0yy此极限不存在，所以，在点(0,0)处，fy(0,0)不存在但函数f(x,y)=1-x2+y2 f(0,0)=1，即f(x,y)在点(0,0)取得极大值1问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的

10、往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： 4（1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2） 求驻点；（3） 结合实际意义判定最大、最小值从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值条件极值和无条件极值是两个不同的概念例如，二元函数z=x2+y2的极小值（无条件极值）显然在(0,0)点

11、取得，其值为零 但是(0,0)显然不是此函数的约束条件x+y-1=0下的条件极小值点事实上x=0,y=0根本不满足约束条件容易算出，这个条件极小值在点(,)处取得，其值为11221，从几何2上来看，它们的差异是十分明显的无条件极小值是曲面z=x2+y2所有竖坐标中的最小z=x2+y2,者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面x+y-1=0上，即空间曲面x+y-1=0上各点的竖坐标中最小者我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值例如把条件y=1-x代入函数z=x2+y2，便将原来的条件极值化成了一元函数y2z=

12、x2+(1-x)2=2x2-2x+1 的无条件极值用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断22例4 求z=x+y+5在约束条件y=1-x下的极值解 作辅助函数则有 F(x,y,)=x2+y2+5+(1-x-y)， Fx=2x-,Fy=2y-，2x-=0,解方程组 2y-=0,1-x-y=0,1x=y=,=1 得 211 现在判断P(,)是否为条件极值点： 2222由于问题的实质是求旋转抛物面z=x+y+5与平

13、面y=1-x的交线，即开口向上5的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点P(,)处取得极小值z=问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处的方向导数 2f刻画了函数在这点当自变量l沿着射线l变化时的变化率，梯度grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助例5 求函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处函数值下降最快的方向解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因grad u=uuuk =y2zi +2xyzj +xy2k， i +j +xzy(1,-

14、1,2) grad u(1,-1,2)=2i-4j+k， 故所求方向为a=-grad u=-2i+4j-k三、例题精选例6 求函数z=2x-y2ln(1-x-y)22的定义域，并作出定义域图形解 要使函数有意义，需满足条件 2y2x,2x-y0,2221-x-y0, 即x+y0(x0)，故d=(x-lnx+1)令u=x-lnx+1，则u=1-1，由u=0，得x=1，这是函数u=x-lnx+1在x(0,+)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在于是由式得所求的最短距离为d=12(1-ln1+1)=2解三 拉格朗日乘数法设(x,y)为曲线y=lnx上任意一点，则该点到直线的距离为d=x-

15、y+1+(-1)22=12x-y+，令z=d，则2z=12121x+y-xy+x-y+， 222显然，在上式中y=lnx，即y-lnx=0 引入辅导函数 F(x,y)=解方程组12121x+y-xy+x-y+(y-lnx)， 222Fx(x,y)=x-y+1-x=0,Fy(x,y)=y-x-1+=0, y-lnx=0, 1+，得(1-)=0因为0，故x=1，代入，得y=0，于是(1,0)是唯一x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线y=lnx上点(1,0)到已知直线的距离最短，其值为d=12(1-0+1)=2四、 练习题1判断正误(1) fx(x0,y0)=fx(x,y)x

16、=x0=fx(x,y0)x=x0表达式成立； （ ）y=y0解析 fx(x0,y0)表示f(x,y)在(x0,y0)对x的偏导数；fx(x,y)x=x0表示f(x,y)对y=y0函数f(x,y0)x的偏导数在(x0,y0)处的值；fx(x,y0)x=x表示f(x,y)先固定y=y0后，在x=x0处的导数由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的(2) 若z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处一定可微；（ ）解析 由可微的充分条件知，只有z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续时，函数z=f(x,y)在该点一定可微2xy,(x,

17、y)(0,0)例如f(x,y)=x2+y2在（0，0）处偏导数存在，但不可微(x,y)=(0,0)0,(3) 若(x0,y0)为z=f(x,y)的极值点，则(x0,y0)一定为驻点；解析 偏导数不存在的点也可能是极值点 （ ）z=x22例如 z=x+y在（0，0）处取得极小值，但在（0，0）处偏导z=y数不存在，不是驻点(4)fxx=0y=0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数 （ ）解析 沿x轴方向的方向导数2选择题ffff=cos0+cos= lxy2x(1) 设f(x,y)=xy，则下列式中正确的是（ C ）； 22x+y(A) f x,y=f(x,y)； (B)f(x

18、+y,x-y)=f(x,y)； x(C) f(y,x)=f(x,y)； (D) f(x,-y)=f(x,y)解析 f(x,y)=xy是关于x，y的对称函数，故f(y,x)=f(x,y) 22x+y2z(2)设z=ecosy，则； =（ D ）xyxx (A) esiny； (B) ex+exsiny；(C) -excosy； (D) -exsinyz2zx=ecoys，解析 =-exsiny xxy(3)已知f(x+y,x-y)=x2-y2，则ff； +=（ C ）xy(A) 2x+2y； (B) x-y； (C) 2x-2y (D) x+y解析 设 x+y=u，x-y=v，则 f(x+y,x

19、-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)变换为 f(u,v)=uvffufvffufv=+=v+u， =+=v-u， xuxvxyuyvy所以 ff+=(v+u)+(v-u)=2v=2x-2y xy(4)函数z=x3+y3-3xy的驻点为（ B ）； (A)(0,0)和(-1,0)； (B)(0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1)z2=3x-3y=0,xx=0,与x=1, 解析 求两个偏导数z y=0,y=1,2=3y-3x=0,y所以驻点为(0,0)和(1,1)(5)函数z=x2-y2+1的极值点为（ D ） (A)(0,0)； (B)(0,1)；

20、(C)(1,0)；(D)不存在zx=2x=0,解析 求两个偏导数z 得驻点为（0，0）， =-2y=0,y2z2z2z=2，B=又因为A=0，C=2=-2，则B2-AC=40，所以，驻点2xxyy不是极值点，极值点不存在3填空题(1) z=y-x2+1的定义域为 (x,y)yx2-1 ；22解 要使函数有意义，应满足y-x+10，即yx-1(2) 已知f(x,x+y)=x2+xy，则解 设 x+y=u，则 f= 2x+y ； xf(x,x+y)=x2+xy=x(x+y)=xu，关于x的偏导数 fffu=()+=u+x=2x+y xxuxx=1y=1 (3) 设z=ln(x2+y2)，则dz=d

21、x+dy；解 设 x2+y2=u，则 z=lnu，所以 zdzu1zdzu1=2x， =2y， xduxuyduyu从而 dzx=1y=1=zxx=1dx+y=1zyx=1y=1dy=dx+dyy(4) 曲面z=arctan()在点M(1,1,)处的切平面方程为 x-y+2z-=0 ； x42解 令 F(x,y,z)=z-arctan(y)， xyy12=则 Fx=-， F=x(1,1,)2x2+y2241+()x11-xF=-， Fy=-=2y(1,1,)y2x+y2241+()x11曲面的切平面方程为 (x-1)-(y-1)+(z-)=0 ， 224即 x-y+2z-=0 2-(5) 设z

22、+ez=xy，则xz= ； z1+eyz解一 令F(x,y,z)=z+e-xy，则 Fz=1+ez， Fy=-x，Fyxz=-所以 = yFz1+ez解二 设z=z(x,y)，两边对y求偏导数，有xzzzz+e=x ， 即 = zyyy1+e4解答题 (1)设可微函数z=f(x,u),u=(x,t),t=sinx,求解 偏导数为 dz； dxdzzzuzudt =+dxxuxutdxfffcost =+xuxut(2)设z=f(x2+y2)，且f(u)可微，证明 y解 设 x2+y2=u，则z=f(u)， zz-x=0 xy从而 zdzuzdzu=f(u)2x， =f(u)2y， =xduxyduy则 y所以，原结论成立zz-x=yf(u)2x-xf(u)2y=0， xyzz(3) 设x2+z2=yf()，其中f为可微函数，求 yy解 令F(x,y,z)=x+z-yf()， 22zy设u=z，则 F(x,y,z)=x2+z2-yf(u)， yzzFFu)+=-f(u)-yf(u)(-2)=f(u)-f(u)， yuyyyFFu1)+=2z-yf(u)=2z-f(u)， zuzy从而 Fy=(Fz=(zzzzf(