2011年上学期拓扑学考试试卷及答案

1、大学拓扑学考试试卷参考答案（A）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分)1、1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑.A. B. C. D. 2、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集的内部是（ ）A. B. C. R-Z D. R 4、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ）A. 若,则 B. 若,则C. 若A=,则 D. 若,则5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、空间2、空间：3、不

2、连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）2、设拓扑空间满足第二可数性公理，则满足第一可数性公理（ ）3、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则（ ）4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( )四、证明题（共50分）1、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试证明也是连续映射。(10分)2、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集. (10分) 3、设是Hausdorff空间，是连续映射.证明是 的闭子集. (10分) 4、设为非空集合，令试证：(1) 是一

3、个拓扑空间；(5分)(2) 若不可数，是连通空间；(5分)(3) 为但非空间；(5分)(4) 是Lindelff空间(提示：即证的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分)大学拓扑学考试试卷参考答案（A）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分)1、C 2、B 3、A 4、A 5、D二、简答题（每题3分，共15分）1、空间答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为空间.2、空间：答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.3、

4、不连通空间答案：设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.4、序列紧致空间答案：设是一个拓扑空间. 如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个序列紧致空间.5、正规空间：答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正规空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）答案:理由：设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续.2、设拓扑空间满足第二可数性公理，则满足第一可数性公

5、理（ ）答案：理由:设拓扑空间满足第二可数性公理，是它的一个可数基，对于每一个,易知是点处的一个邻域基，它是的一个子族所以是可数族，从而在点处有可数邻域基，故满 足第一可数性公理.3、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：理由：设,则对于任意,有唯一的一个邻域，且有,从而，因此是的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域，有,所以有.4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：理由：设是Hausdorff空间的一个紧致子集，则对于任何，若，则易知不是的凝聚点，因此，从而是一个闭集.四、证明题（共50分）1、 证：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.2、证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得,于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 3、 证明：对于，则，从而有互不相交的开邻域和，设，则是的开邻域，且,故是开集，从而是闭集. 4、证明：(1)(2) 注意；(3) 对任意，则与分别为与的开邻域，且，因此，为空间。设为的任何开邻域，为的任何开邻域，则，其