第7章数字信号处理

1、第7章 数字信号处理 7.1 数字信号处理概述 数字信号处理的主要研究用数字序列表示测试信号，并用数学公式和运算来对数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波等。 数字信号处理的一般步骤如下。 （1） 预处理 信号的预处理是连续时间信号变成便于数字处理的形式。例如，电压的幅值处理、滤波、隔直流、调制解调等。 （2）模拟信号离散化 把连续信号转换为离散数字信号的过程称为模数转换（ADC），反之称为数模转换。它们是数字信号处理的必要过程。 连续时间信号转化为能被计算机等数字设备处理的数字信号需经过两个步骤：第一步是采样。采样时刻通常在固定的间隔点上，这个间隔称为采样周期。

2、在每个采样点对模拟信号进行采样，且将该采样值保持到下一个采样点的过程称为采样保持。第二步是量化和数字化过程。量化就是把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，数字化是将经过量化的值变为二进制数字的过程。 （3）运算处理 利用数字信号处理器或计算机对离散数字序列进行运算处理。 计算机只能处理有限长度的数字序列，所以还需要把长时间序列截断（加窗处理实现），有时还要把阶段的数字序列人为加权，以成为新的有限长数字序列。 数字信号经过运算处理后，如需变回连续信号，可通过数模转换（DAC）实现。 数字信号处理的优势主要体现在以下方面： 1)用数学计算代替复杂的测量电路 2)用计算机显示代替复杂的机械结

3、构 3)计算机软硬件技术发展的有力推动 4)多种多样的工业用计算机 5)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统 7.2离散傅里叶变换 7.2.1 离散傅里叶变换的概念 对于非周期的连续时间信号，它的傅里叶变换应该是一个连续的频谱X(f)，其运算公式为： X(f)?x(t)e?j2?ftdt ? 其逆变换为： x(t)?X(f)ej2?ftdf ? 由于计算机只能处理有限长度的离散数据序列，因此上面两式不能直接被计算机所处理，必须首先对其连续时域信号和连续频谱进行离散化并截取其有限长度的一个序列，这就是离散傅里叶变换的产生基础。 对于无限连续信号的傅里叶变换共有以下四种情况。图7-1（a）为一非周期

4、连续信号x(t)及其傅里叶变换的频谱X(f)，由图7-1（a）可知，通常x(t)和X(f)的范围均为?。 图7-1 傅里叶变换的几种类型 图7-1（b）为一周期连续信号，此时傅里叶变换转变为傅里叶级数，因而其频谱是离散的。 X(fk)? 其逆变换为 1T?T/2?T/2x(t)e?j2?fktdt （7-1） x(t)? k?X(f?k)e?j2?fkt （7-2） 1。 T式中：fk?k?f(k?0,?1,?2,.)；?f为相邻谱线的间隔，也就是基频，?f? 图7-1（c）为一非周期离散信号的傅里叶变换，其时域信号时离散的脉冲序列，这种时间脉冲序列可看成对一连续信号进行采样而得到。可以证明，

5、无限长的离散时间序列的傅里叶变换是一个周期性的连续频谱，即 X(f)? k?x(t)en?j2?ftn （7-3） 其逆变换为 1x(tn)?fs?fs/2?fs/2X(f)ej2?ftndf （7-4） 式中：tn?n?t(n?0,?1,?2,.) ?t脉冲序列的时间间隔，即采样间隔?t?1 fs fs时域信号的采样频率，它等于该时间序列的频谱周期 图7-1（d）为一周期离散信号的傅里叶变换，可以证明它的频谱也是周期且离散的。设该时间序列的周期为T，一个周期内有N个采样点，即采样间隔为?t，于是 T?N?t （7-5） 根据傅里叶变换的公式，它的频谱也是周期的，周期fs? 在一个周期内同样有

6、N条谱线。 11，频率间隔?f?，且它?tT fs?N?f （7-6） 对于第四种情况，即时域和频域均为离散周期信号，只需取其时域上的一个周期（N个采样点）和频域一个周期（同样为N个采样点）进行分析，即可了解该信号的全部时域和频域信息。这种对有限长度的离散时域或频域信号序列进行傅里叶变换或逆变换，得到同样为有限长度的离散频域或时域信号序列的方法，就称为离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换（IDFT），其变换公式为： DFT:X(k)?x(n)e n?0N?1?j2?nkN.?, （7-7） k?0,1,2,N 2?jnk1N?1 .?, （7-8） IDFT:x(n)?X(k)eN n?0,1,

7、2,NNk?0 对时域离散的时序信号的傅里叶变换可以推导出离散傅里叶变换的计算公式，但在实际上还会经常碰到有限或无限长度的非周期序列信号，对这样的信号作傅里叶变换得到的是周期的连续谱X(f)。X(f)不能直接被计算机处理，因此必须用DFT的公式进行计算。具体的计算步骤如下：对有限长度的序列x(n)，令其长度为N，而对无限长度的序列x(n)，则 ?(n)的一个周期。由此可知，离用长度为N的窗函数对其进行截取，并将其视作周期信号x 散傅里叶变换可以对任意连续的时域信号进行采样和截取，并对其作离散傅里叶变换，得到信号的离散频谱，该离散频谱的包络线就是缘连续信号的真实频谱。 一个离散傅里叶变换的过程和

8、步骤可以通过图解来解释，可分为时域采样、时域截断和频域采样。 1、 时域采样 图7-2（a）所示为一连续时域信号x(t)及其频谱X(f)。用一采样函数s1?t?对x(t)在 时域进行采样，s1?t?为一等时间间隔Ts的单位脉冲序列，其频谱S1?f?也是等频率间隔1/Ts的周期脉冲序列（图7-2（b）。对x(t)的采样即是x(t)与s1?t?相乘，所得结果见图7-2（c），其图形是将X(f)乘以权重因子1/Ts后移至各频率点r/Ts(r?0,?1,2,.)处，其频谱也是周期的。 图7-2离散傅里叶变换图解过程 2、 时域截断 在时域上对采样值系列进行截断就是将时域序列信号乘以一个单位矩形窗函数w

9、?t?，w?t?定义为： ?1.0?t?T （7-9） w?t?0.t?0,t?T? w?t?的频谱W?f?为一sinc函数，其函数表达式为 W?f?Tsin?fT?Tsinc?fT? （7-10） ?fT 如图7-2（d）所示。加窗截断后在时域的运算结果为x(t)s1?t?w?t?，在频域则为 即W?f?*X(f)*S1?f?，时域、频域计算结果见图7-2W?f?与X(f)*S1?f?卷积， （e）。与图7-2（d）右边的频谱图比较，图7-2（e）右边的频谱图形（即时域截断后的信号频谱）出现了皱纹，这是由于窗函数W?f?的旁瓣造成的。由于W?f?总是频带无限宽的，因此卷积后的图形带来新的畸变

10、和误差，这种误差被称为“泄漏误差”。 3、 频域采样 经过时域采样和截断后，信号x(t)在时域上已是有限长度的离散序列，但其频谱仍为周期性的连续函数，因此必须进一步在频域上对其进行离散化，即频域采样。图7-2 1?k?（f）所示为频域采样函数S2?f?，设S2?f?f?。由于在频段Tk?T? ?1?f11fs?fs?内有N个数据输出，因此频域采样间隔为s?。因此时域采样Ts?NNTsT? 时选定窗长度也就确定了频域谱线的分辨率。因此S2?f?为一系列频率间隔为?f?1 T 的离散谱线。S2?f?的傅里叶逆变换则是时间间隔为T的单位脉冲序列 s2?t? q?t?qT?q?0,?1,?2,.? （

11、7-11） ? 如图7-2（f）左边所示。S2?f?与被截断的采样波形的频谱相乘便可得到它的频谱采样，其结果为一离散谱，如图7-2（g）右图所示。相应地，在时域内进行的是s2?t?与被截断采样波形的卷积运算，其结果见图7-2（f）右边所示为一周期为T的时间序列，但其一个周期的波形与被截断的采样波形相同。 7.2.2离散傅里叶变换的性质 1、线性性 若x1?n?X1?k?,x2?n?X2?k?，则 DFT?ax1?n?bx2?n?aX1?k?bX2?k? （7-12） 式中：a,b为常数。 2、移位性 若x?n?X?k?，则有时移性： x?n?m?X?k?e?j2?km/N （7-13） 频移性

12、： x?n?e?j2?km/N?X?k?m? （7-14） 3、奇、偶、虚、实对称性 (1) 若x?n?为复序列，x?n?X?k?，则 DFTx*?n?X*?k? （7-15） (2) 若 x?n?为实序列，则 X*?k?X(?k)?X(N?k) （7-16） XR?k?XR(?k)?XR(N?k) （7-17） XI?k?XI(?k)?XI(N?k) （7-18） X?k?X(N?k) （7-19） argX(k)?argX(?k) （7-20） 式中：XR?k?和XI?k?分别为X(k)的实部和虚部。 （1） 若x?n?为偶序列：x(n)?x(?n)，则X(k)为实序列。 （2） 若x?n

13、? 为奇序列：x(n)?x(?n) ，则 X(k)为纯虚序列。 1、 巴塞伐尔（Parseval）定理 ?n?0N?11N?1x(n)?X(k) （7-21） Nn?022 2、 卷积定理 若x?n?X?k?，y?n?Y?k?，则 x(n)*y(n)?X(k)Y(k) （7-22） x(n)y(n)?X(k)*Y(k) （7-23） 7.3 采样定理 数字计算频谱前必须要对信号x(t)进行离散采样，形成数字计算机可以处理的离散信号x(n)?x(nTs)，其中Ts是离散采样时间。离散采样获得的x(n)显然只保存了信号x(t)在采样时刻ts?nTs的值，是否能由离散信号x(n)计算出x(t)的频谱

14、，是数字计算频谱前必须回答的问题。香农采样定理给出了合理答案。 假设x(t)是最高谐波频率为fh的带限信号，即 x(t)? ?X(f)ej2?ftdf (X(f)?0,f?fh,fh) （7-24） 式中，X(f)?Fx(t) 以采样间隔Ts对x(t)离散采样，得离散信号 x(n)?x(nTs) (n?,?) （7-25） 由x(n)可构造出一个所谓的冲激抽样信号： x?t? n?x(n)?t?nT?T （7-26） ss? 一方面，直接对此式两边进行傅里叶变换，得 ?X?f?F?x?t?F?x?n?t?nTs?Ts?Ts?n?n?h?j2?fnTs x(n)e? 可见，x?(t)的频谱可由离

15、散信号x(n)计算得到。将相应的运算称为对离散信号x(n)的傅里叶变换，记作F?x(n)?，即 X?f?Ts n?h?x(n)e?j2?fnTsdef?F?x(n)? （7-27） X?(f)对应称为离散信号x(n)的频谱。不难验证，X?(f)是频率f的周期函数，重复的周期是采样频率fs?1。 Ts 另一方面，考察x?(t)，发现x?(t)与原信号x(t)有非常简明的关系： x?(t)? n?x(nT)?(t?nT)T?x(t)?(n?T)Tssssn?s?x(t)?(n?Ts)Ts n?两边进行傅里叶变换，可得 ? X?(f)?X(f)?(f?nfs)?X(f)?X(f?nfs)?X(f?n

16、fs) （7-28） n?1?n? 可见，X?(f)是由X(f)及其前后频移nfs的各项叠加而成的。 若fs?2fh，则当f? 根据式（7-24）有 fsfs,时，对于n?1，由于f?nfs?fh，f?nfs?fh，22 X(f?nfs)?0， X(f?nfs)?0 从而有 X(f)?X?f?F?x(n)? (f?fsfs,) （7-29） 22此时X?(f)表达式（7-28）中的各项互不混叠，如图7-3所示。因而可以从中提出X(f)，可以由xn精确计算出x(t)的频谱。 图7-3 无混叠采样冲激抽样信号频谱 若fs?2fh，此时X?(f)表达式（4.3-5）中的各项前后混叠，如图7-4所示。

17、因而不能从中提出X(f)，也就不能由xn精确计算出x(t)的频谱。这也就是所谓的采样频率过低造成了频谱混叠。 图7-4 频谱混叠的冲激抽样信号频谱 式（4.3-6）及其条件表述便是香农采样定理，对于最高谐波频率为fh的带限信号，只要采样频率fs?2fh，就可以由采样得到的离散信号xn精确计算出x(t)的频谱 。而fs?2fh则称为香农采样条件或无混叠离散采样条件。 7.4 栅栏效应与频谱泄漏 7.4.1 栅栏效应 直接利用DFT 计算非周期信号频谱时，对频谱的取样间隔定为取样长度的倒数f?11。由于计算容量等方面的限制，Ta不能随意取大（在香农采样条件要求Ts?）Ta2fh Ta)，因此f?不

18、能随意小。于是，对于某些频Ts的情况下，加大Ta就意味着增加数据量(N? 谱变化比较剧烈的信号，由DFT确定的频率取样间隔f?会显得过宽，不能由频谱取样点有效地描述其本来的变化规律。如图7-5所示，实线为信号的本来幅度谱，虚线为DFT计算得到的谱线（频谱取样点），点画线是根据计算得到的频谱取样点可能勾画出的频谱波形。可见它没能有效地描述元信号频谱的波动规律。如此由于频率取样间隔过大而不能有效表达 频谱特征的情况，称为栅栏效应，即在频谱取样点间，好像挡了一条条栅栏，让人看不到其间的频谱变化情况。 栅栏效应是用DFT计算非周期信号频谱时的固有问题。应用中需要注意的就是合理选择Ts而控制栅栏条的宽度

19、（即频谱取样间隔），使栅栏挡住的频谱只有较小的单调变化，保证能由频谱取样点较好地描述其本来的规律。 图7-5 栅栏效应 应该指出的是，栅栏效应显然不是一种使计算谱值产生误差的效应。如果其他条件满足，由DFT计算出的取样点的谱值就是精确的，只是可能有些重要的谱值没能计算到，被栅栏挡住了。 减小栅栏的直接办法就是加大对信号的取样长度Ta，代价是增加数据点数N。但同时也加大了计算负担。 对于延续时间?有限的时限信号，首先做到使取样时段完全包括信号的延续区域Ta?，否则会引起频谱泄漏误差。进一步，就是将信号延续区间以后的零值取样进去而增大Ta，从而使频谱细化，将重要的频谱值都计算出来，避免栅栏效应的影

20、响。 例7-1对于图7-6（a）所示的半正弦信号x(t)?sin?t?u(t)?u(t?)，分别取采? 样长度Ta?和Ta?20?数字计算其频谱，采样间隔均取为Ts? 200，可基本消除频域混 叠，结果如图7-7（a）（幅度谱）和（b）（相位谱）所示。其中，实线为Ta?20?时计算出的频谱波形，它已勾画出实际频谱的主要特征；“o”为Ta?时计算出的频谱值，顺连成信号频谱估计波形（点画线），可见它在计算点上是正确的；但由于频域的计算点太稀疏，完成的频谱估计波形已看不到起伏波动等特征。 图7-6 半正弦信号在不同采样频率下的数字计算频谱 (a)幅度谱 (b) 相位谱 图7-7半正弦信号数字计算频谱

21、的栅栏效应 7.4.2 频谱泄漏 对于延续时间较长的信号，数字计算其频谱时，由于计算机容量和计算时间的限制，必须在采样时进行有限截取。例如，图7-8（a）所示的取样调幅波信号x(t)（虚线）的延续时间为t?,?，其正确的频谱（幅度谱）如图7-8（b）的实线所示。如果直接截取 t?(?2?,2?)一段计算，得到的频谱（幅度谱）将如图7-8（b）的实线所示。为了仔细比较数据截断前后频谱的差异，在截取的数据以外补若干零值，使频谱间隔足够细化，从而获得实线频谱。若单用截取的一段数据计算，则只能得到图中“o”所示频谱，看不清截断后频谱的规律（栅栏效应）。可见，当不得已截取信号的有限长一段进行数字计算时，

22、得到的结果会产生有规律的偏差频谱波形相对原频谱散开来，原有谱值总体减小，在谱值为零的频域出现非零值。这种现象称为频谱泄漏问题，形象理解为频谱从原来的区域向外泄漏了一部分。 实践表明，当不得已要截取信号时，如果取样方法合理，可有效抑制频谱泄漏所带来的频谱计算误差。 (a)矩形窗截取信号 (b)矩形窗截取信号的幅度谱 图7-8 信号加窗截断与频谱泄漏 1、 加窗取样 对信号x(t)进行有限长截取相当于将其与一个在截取区间以外恒为0的窗函数w(t,tw,tc)相乘，形成另一个信号，即 xw(t)?x(t)w(t,tw,tc) （7-30） 式中，tw为窗口宽度，tc为窗口中心位置。相应的计算结果实际

23、是xw(t)的频谱。 如图7-8（a）直接截取的窗函数波形呈矩形，称为矩形窗，可表达为 ?1.(tc?tw/2?t?tc?tw/2) (7-31) w1(t,tw,tc)?0.(其余） 图7-8（a）中窗函数取为w1(t,4?,0)，截取形成的信号为x1(t)?x(t)w1(t,4?,0)；图7-8（b）中实线即为x1(t)的频谱（幅度谱），图中虚线是原信号幅度谱。 为了使计算结果（即xw(t)的频谱）能更好地刻画原信号x(t)的特点，选用其他的窗函数。除了矩形窗以外，常用的窗函数还有： 三角窗，即Triang窗 ?1+2(t?tc)/tw.(tc?tw/2?t?tc)?w2(t,tw,tc)

24、?1?2(t?tc)/tw.(tc?t?tc?tw/2) (7-32) ?0.(其余）? 汉宁窗，即Hanning 窗，又称升余弦函数 ?1?cos2?(t?tc?tw/2)/tw.(tc?tw/2?t?tc?tw/2)(7-33) w3(t,tw,tc)?0.(其余）? 哈明窗，即Hammiing窗，又称改进升余弦函数 ?0.54?0.46cos2?(t?tc?tw/2)/tw.(tc?tw/2?t?tc?tw/2)(7-34) w4(t,tw,tc)?0.(其余） 无论采用何种窗函数截取，只要截取区间未能完全包含信号的延续时段（非恒零时段），就不可避免地会产生频谱泄漏误差。随着采样区间包含

25、信号的延续时段加长（窗宽tw加大），频谱泄漏误差将减小。 各种窗函数其实难以绝对分出优劣，它们对频谱泄漏误差的抑制效果在很大程度上取决于被采样信号的特征，也与分析目的密切相关。一般情况下，矩形窗的特征频率定位误差较小，分析特征频率时常用；汉宁窗的频谱特征峰值误差较小，如图所示，求特征谱值时常用。 对于确定性信号截取采样时，采样窗的时域位置（参数tc决定）也是至关重要的。选择不当会产生严重误差。一般应将采样窗的中心位置置于被采样信号变化幅度最大区域的中心，如图7-8（a）、7-9（a）、7-9（c）等所示。 实际应用时，信号的加窗运算通常在离散取样以后，即对x(t)的直接离散取样信号x(n)?x

26、(nTs)，然后用相应的离散窗序列w(n)?w(nTs,tw,tc)加权，得到加窗的离散取样信号 xw(n)? x(n)w(n) 图7-9 加窗截取与频谱泄漏 2、 截尾取样 对于初始变化幅度较大的有始信号，一般应采用半边窗截尾，而原样保留起始信 号波形，以尽量减小泄漏效应，相应的半边截尾窗函数分别为： 矩形截尾函数 ?1.(t?tb) （7-35） cw1(t,tb)?0.(其余） 三角形截尾窗函数 ?1.(t?tb)?cw2(t,tb,tw)?1?(t?tb)/tw.(tb?t?tb?tw)（7-36） ?0.(其余）? 升余弦形截尾窗函数 ?1.(t?tb)?cw3(t,tb,tw)?0

27、.5?0.5cos?(t?tb)/tw.(tb?t?tb?tw)（7-37） ?0.(其余）? 改进升余弦形截尾窗函数 ?1.(t?tb)?w4(t,tb,tw)?0.54?0.46cos?(t?tb)/tw.(tb?t?tb?tw)(7-38) ?0.(其余）? 3、 补尾取样 对于延续时间较长的有始信号，一般有效抑制频谱泄漏的取样办法是：以合适的取样长度矩形截尾，得 x1(t)?x(t)cw1(t,tb) 然后根据截尾前信号的变化趋势，选择合适的函数形式，通过对截尾前一段信号的回归分析，估计出截尾点后信号变化的一个可以解析求取频谱的近似表达式c(t)，得到 x(t)?x1(t)?c(t)

28、从而可得信号的频谱为 X(f)?X1(f)?C(f) 式中，X1(f)由数字计算得到，C(f)由解析求取。此式称为补尾取样。常用的补尾函数c(t)有指数衰减、指数衰减振荡和有限多项式等，可根据信号截尾前的变化趋势选取。 指数衰减式补尾函数： c1(t)?x(tb)e?a(t?tb)u(t?tb) (7-39) 式中，tb为截尾时刻，a为拟合系数，u(t)为单位阶跃函数。 指数衰减振荡式补尾函数： c2(t)?x(tb)?b(t?tb)ecos2?fc(t?tb)?cu(t?tb)(7-40) cos?c 式中，b,fc,?c为拟合系数。 对c1(t)、c2(t)进行傅里叶变换，有 x(tb)e

29、?j2?ftb （7-41） C1(f)?Fc1(t)?a?j2?f x(tb)(b?j2?f?j2?fctan?c)e?j2?ftb （7-42） C2(f)?Fc2(t)?22(b?j2?f)?(j2?fc) 设对x(t)的取样间隔为Ts，以截尾点tb前的m个取样值x(tb?Ts),x(tb?2Ts),.,x(tb?mTs) 进行拟合，用数值误差平方和最小的规则，可得c1(t)中的拟合系数为 11m1x(tb?kTs)a?ln （7-43） ?Tsmk?1kx(tb) c2(t)中的系数一般根据具体情况，用少量合适的取样点拟合解算。 7.5 FFT计算 快速傅里叶变换（FFT）与DFT的输

30、出相同，但运算量要小得多。最常用的FFT是基2时域抽取法FFT。这种FFT的基本原理是将一个N点的计算分解为两个N/2点的计算，每个N/2点的计算再进一步分解为N/4点的计算，依此类推。信号x(n)根据采样号n分解为偶采样点和奇采样点。设偶采样序列y(n)?x(2n),奇采样序列z(n)?x(2n?1)。 X(k)?x(n)e n?0 N/2?1N?1?j2?knNN/2?1?x(2n)en?0?j?j2?k(2n)N?x(2n?1)en?0N/2?1?j2?k(2n?1)N ?n?0y(n)e?j4?knNN/2?1?z(n)en?0 ?j2?k(2n?1)N N/2?1 ?n?0y(n)e

31、 ?j?j4?knN?e2?kN/2?1Nn?0?z(n)e?j4?knN ?Y(k)?e2?k NZ(k).k?0,1.N?1 （7-44） Y(k)是偶采样点的DFT，Z(k)是奇采样点的DFT，Z(k)前的乘数e 最后一个式子可再分解以便进一步提高效率。前一半计算为： ?j2?k N?j2?kN称为旋转因子。 X(k)?Y(k)?e 后一半计算为： Z(k).k?0,1.(N/2?1) （7-45） ?j2?(k?N/2) NX(k?N/2)?Y(k?N/2)?e ?Y(k)?e?j2?k NZ(k?N/2).k?0,1.(N/2?1) Z(k) （7-46） ?j2?k N经过以上简化

32、，式变为： X(k?N/2)?Y(k)?eZ(k).k?0,1.(N/2?1) （7-47） 式（7-45）和式（7-47）一起形成了FFT的一个步骤，它们将N点的DFT分解为两个N/2的DFT。 图7-10给出了FFT的运算流图，可由两个N/2点的FFT得出N点FFT。同理，每个N/2点的FFT可由两个N/4点的FFT求得。以此类推，该过程可最终推至2点的FFT。图7-11给出了N?8的分解过程。每一个2点的FFT称为碟形。第一级需要每组一个碟形的4组。第二级有每组两个碟形的两组。最后一级，需要一组4个碟形。很明显图中各部分有重复的k 旋转因子。例如，用图中的WN表达式，显然有W20?W40

33、?W80，可通过重复使用旋转因子 避免重复计算，从而节约运算时间。 FIGURE 11-39One Stage of FFT. Joyce Van de Vegte 图7-10 FFT的运算流图 Fundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright ?2002 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. 对于每个点，标准的DFT要计算N次复数乘以及(N?1)次复数加。那么，对于N点，总共有N次复数乘及N?N?1?次复数加。

34、运算的次数常用来评价运算的难易程度。那么，2 DFT的运算难度系数与N成正比。FFT的每一级有N次复数乘以及N次复数加。FFT共有log2N级，即FFT的的运算难度系数与Nlog2N成正比。图7-12所示为FFT和DFT2 FIGURE 11-40All three stages of 8-point FFT. 算法的运算效率比较。从图7-12可知，FFT总是比DFT的运算效率高，尤其当N?100时更明显。因此，实际应用中都是采用的FFT运算。 FIGURE 11-42Comparing DFT and FFT efficiency. 图7-11 N?8的FFT分解过程 Joyce Van d

35、e Vegte Fundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright ?2002 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. 图7-12 FFT和DFT算法的运算效率比较 7.6 数字滤波 Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright ?2002 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle Ri

36、ver, New Jersey 07458 All rights reserved. 7.6.1数字滤波器的基本概念 1、数字滤波的定义 用数学计算对输入信号进行加工，把输入序列xn变换成一定的输出序列yn，达到去干扰目的。数字滤波原理就是利用数字滤波器的频率响应，对输入序列的频谱进行加权改造。 2、数字滤波器的描述方法 数字滤波器的描述方法有以下四种。 （1）、差分方程 数字滤波器的系统框图如图所示，由于是离散时间系统，其时域数学模型可用差分方程描述： a0y(n)?a1y(n?1)?.?aNy(n?N) ?b0x(n)?b1x(n?1)?.?bM?1x(n?M) 也可表示为： （7-48）

37、 ?a k?0Nky(n?k)?bkx(n?k) （7-49） k?0M 式中，x(n)为滤波器输入信号，y(n)为滤波后的信号，M为采样信号的长度，N为滤波器的阶次。ak、bk为滤波器系数，均为常数。 如果滤波器的当前输出信号只与过去和当前的输入信号有关，即ak?0，(k?1,2,.,N)，则称滤波器为非递归滤波器；如果滤波器的当前输出信号不仅与过去和当前的输入信号有关，还与过去的输出信号有关，即ak?0(k?1,2,.,N)，则称滤波器为递归滤波器。 （2）、单位脉冲响应h(n) 将单位脉冲函数作为差分方程的输入信号，则滤波器的输出为单位脉冲响应 h(n)。利用卷积可将滤波器的时域模型描述

38、为： y(n)?h(n)*x(n)?h(m)x(n?m) （7-50） m?0? （3）、传递函数 系统的输出信号与输入信号的Z变换的比值称为系统的传递函数，其表达式可写为： H(z)?bzk k?0 N k?1M?k （7-51） 1?akz?k 则滤波器的输出信号的Z变换为： Y(z)?H(z)X(z) （7-52） （4）、频率响应H(e) 数字滤波器的单位脉冲响应h(n)，其频谱为频率响应 j? H(ej?)?H(ej?)ej?(?) （7-53） j?其中，H(e)称离散系统的幅度响应，?称为相位响应。 则滤波器输出信号y(n)的频谱为 Y(ej?)?H(ej?)X(ej?) （7-

39、54） 由式（7-54）可以看出，数字滤波器的频率响应H(ej?)能对输入序列的频谱进行加权改造，这就是滤波器的工作原理。图7-12反映了滤波过程中信号的变化，其中图7-12（a）是输入信号，它是一个典型的矩形序列的时域波形和幅频特性曲线，图7-12（b）是系统，一理想低通滤波器的时域卷积和幅度特性曲线。由式（7-50）或（7-54）可知，该信号经过系统的变化是时域卷积核频域相乘，输出结果见图7-12（c），显然，从幅频特性曲线上看： ?c（?c称为滤波器截止频率）频率段信号能够通过，其他频率段信号衰减。从输出 波形y(n)上看，原信号x(n)波形中的跳变处（高频信号）平滑了很多，因此，滤波器

40、对输入信号进行了有效滤波。 图7-12 数字滤波器信号处理过程 3、 数字滤波器与模拟滤波器的比较 数字滤波器与模拟滤波器的作用相同而分析方法不同，数字滤波器在体积、重量、精度、稳定性、可靠性、存储功能、灵活性以及性能价格比等方面与模拟滤波器比较有明显优点，两者对比如表7-1所示。 7-1 数字滤波器与模拟滤波器对比 当然，数字滤波器的构成和设计方法往往要借鉴已经成熟的模拟滤波器技术，在用数字滤波器处理模拟信号时，两种滤波器要混合使用，如图7-13所示，模拟信号数字处理框图等效一个高性能的模拟滤波器。 图7-13模拟信号数字处理框图 4、滤波器的分类 滤波器按照不同的分类方法有多种分类形式。

41、根据滤波器的选频作用分类 按选频功能分类可将滤波器分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。图7-14所示为五种基本滤波器。 图7-14常用模拟滤波器类型 低通滤波器 低通滤波器的作用是使低频信号通过而高频信号不能通过。例如音乐的主要内容集中在低、中频段，因此可以利用低通滤波器有效去除旧音乐录音带中的高频背景杂音分量。 高通滤波器 高通滤波器的性能与低通滤波器相反，是使高频信号通过而低频信号被滤除。例如，声纳系统中，可利用高通滤波器消除信号中船和海的低频噪声，从而实现目标的识别。 带通滤波器 带通滤波器的性能是使频率在某一频带范围内的信号能通过，而在该频带范围以外的信号不能通过。例如数字电话系统

42、中的双音多频（DTMF）信号的解码，数字电话的每一个按键对应于键盘网格上的一对频率，其中低频对应按键所在行，高频对应按键所在列，接收端的一组带通滤波器可用于识别双频频率进而鉴别按键位置。 带阻滤波器 带阻滤波器的性能与带通滤波器相反，是使频率在某一频带范围内的信号能阻断，而在该频带范围以外的信号能通过。阻带在频率f1f2之间，它使信号中高于f1而低于f2的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。例如消除50Hz的工频噪声。 （5）全通滤波器 全通滤波器的幅频特性对所有频率均为常数或1，它仅针对输入信号的相位进行相应处理，其主要用途是改变信号频谱的相位，故也称为移相器。 2、按单

43、位脉冲响应序列长度分类 数字滤波器时线性时不变因果系统，其系统函数H?z?是 H(z)?bzk k?0 N k?1M?k 1?akz?k 若ak?0(k?1,2,3,.,N)，则 H(z)?bkz?k （7-55） k?0M 即相应的单位脉冲响应h(n)是有限长的，这种滤波器称为有限脉冲响应（Finite impulse response，简称FIR）滤波器，也称为非递归滤波器；若ak?0，则即相应的单位脉冲响应h(n)是无限长的，这种滤波器称为无限脉冲响应（Infinite impulse response，简称IIR）滤波器，也称为递归滤波器。 7.6.2数字滤波器的结构 1、IIR滤波器

44、的结构 无限脉冲响应滤波器的传递函数为： b0+b1z?1?.?bMz-M （7-56） H(z)=-1-N1?a1z+.+aNz 一般滤波器有N?M，上式可整理为 b0zN+b1zN?1?.?bMzN-M （7-57） H(z)=zN?a1zN-1+.+aN 由上式可以看出，由于分母为多项式，所以IIR滤波器的极点不一定在z平面单位圆内，即IIR滤波器不一定稳定，这也是IIR滤波器与后面所讲的FIR滤波器的重要区别。 IIR数字滤波器的结构分为四种。 （1）、直接型 由y(n)=-?ay(n-k)+?bx(n-k)可知IIR滤波器的差分方程的右边由两部分构成：kk k=1k=0NM 延时网络

45、和反馈网络。延时网络即?bx(n-k)部分表示，是由M+1个输入信号延时环节k k=0M 构成，其中的系数br为各环节的加权系数，反馈网络即-?ay(n-k)部分表示，是由N个k k=1N 输出信号延时环节构成，其中的系数ak为各输出延时环节的加权系数。两网络通过加法器 结合起来，其流图形式见图7-15所示。由流图可知该结构共需要N+M个延时单元。其中，延时网络提供系统传递函数H(z)的零点，而反馈网络提供H(z)的极点。 图7-15 IIR数字滤波器的直接型实现 （2）.直接型 IIR数字滤波器的直接型是将数字滤波器的系统函数写成两部分的乘积（级联形式），由式 H(z)=Y(z)=X(z)?

46、bzkM-k?azk k=0k=0N -k 其中，a0=1，令N(z)=?bzk k=0M-k，D(z)=?azkk=0N-k，则得 H(z)=Y(z)N(z)= （7-58） X(z)D(z) 取U(z)=X(z)X(z) ?-1-2-ND(z)1+a1z+a2z+.+aNz ?aNz?NU(z) (7-59） ?1?2则U(z)=X(z)?a1zU(z)?a2zU(z)?由上可得 Y(z)=N(z)X(z)=N(z)U(z) D(z) =(b0+b1z-1+.+bMz-M)U(z) （7-60） IIR数字滤波器的直接型结构如图7-16（a）所示。由图可知，延时支路具有相同的输入，因而它们

47、可以合并，得到图7-16（b）所示结构，由于直接型延时单元可以共用， 因此只需N个延时单元即可（一般N?M），与直接型结构比较，其可以省略M个延时单元。如果硬件实现可以省略延迟器，软件实现可以节省存储单元。 图7-16IIR数字滤波器的直接型实现 直接型和直接型结构的优点是简单直观，其共同的缺点是系数ak、bk对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便，极点位置对滤波器性能的影响太灵敏，字长效应太敏感，误差较大，容易出现不稳定。 1?2z-1+3z-2 例7-2、某IIR滤波器的系统函数为H(z)=，求其直接型实现。 1-4z-1-5z-2 解：该IIR滤波器的直接型实现结构如图7-17所示。

48、图7-17 例7-2直接型实现 （3）、级联型 如果将系统函数中的每对复数极点合并成一个实系数的二阶环节，同时将一阶环节看成是二次方系数为零的二阶环节的特例，则N阶的H(z)可以写成 b0k+b1kz-1+b2kz-2 H(z)=A?=AH1(z)H2(z).HN1(z) （7-61） -1-21+az+azk=11k2k 将每个二阶环节用直接型实现，然后将它们级联，就可得到如图7-18所示的级联型结构。在级联结构中，各二阶环节零极点都可以单独调整，而且零极点的搭配比较灵活，因此级联结构应用较多。 （4）、并联型 N1 如果将H(z)进行部分分式展开，可得 Nb0kb0k+b1kz-1 （7-

49、62） H(z)=C+?-1-1-2k=11+a1kzk=M1+a1kz+a2kzM Nb0kb0k+b1kz-1 其中，C为常数项，?为M个一阶环节的集合，?为（N-M）-1-1-21+az1+az+azk=1k=M1k1k2kM 个二阶环节的集合。如果将常数项和一阶环节看成二阶环节的特例，则实现的并联型结构如图7-19所示。 图 7-18 IIR滤波器的级联实现 图7-19IIR滤波器的并联实现 2、有限脉冲响应滤波器的结构 FIR滤波器的传递函数为 H(z)=?bkz-k=b0+b1z-1+.+bMz-M （7-63） k=0M 上式可整理得 b0zM+b1zM-1+.+bMH(z)= （7-64） zM 由上式可