数学人教版八年级上册线段的垂直平分线.1线段垂直平分线.ppt

1、,线段的垂直平分线,福建省龙岩市高级中学 黄梅娟,概念复习,轴对称图形的概念是什么？ 两个图形轴对称的概念是什么？,思考：如图，ABC与ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别为点ABC的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN有什么关系？,P,MPA=MPA=90,AP=PA,对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,l,A,A,轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,如左图，木条L与木条AB钉在一起，L垂直于AB，P

2、1、P2、P3是l 的点，分别量一量点P1、P2、P3到与B的距离，你有什么发现？,猜想： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,已知:如图,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.,已知:如图,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.,证明：MNAB， PCA=PCB=90 在APC与BPC中 PC=PC（公共边） PCA=PCB（已证） AC=BC（已知） PCAPCB(SAS) ； PA=PB(全等三角形的对应边相等),这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相

3、等.,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,基础闯关,如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果ECD=600,那么EDC= 0.,7,60,如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,如果把这个命题反过来说，还成立吗？,你能证明这个结论吗？,已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的 垂直平分线上,证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PCA=PCB=90

4、 在RtPACRtPBC中 PA=PB， PC=PC（公共边）， RtPACRtPBC(HL),AC=BC（全等三角形对应角相等） 即，P点在AB的垂直平分线上,证法二： 取AB的中点C，连接P,C APC与BPC中 AP=BP PC=PC AC=CB APCBPC(SSS),已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB 求证：P点在AB的垂直平分线上,一题多解,C,PCA=PCB(全等三角形的对应角相等) 又PCA+PCB=180 PCA=PCB=90即PCAB P点在AB的垂直平分线上,线段垂直平分线的判定：,定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,PA=PB(已知),

5、 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,回味无穷,线段垂直平分线性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 符号语言, AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 线段垂直平分线判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 符号语言, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线,一、性

6、质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。,三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合,任何图形都是有点组成的。因此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和判定，线段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？,问,判断 （1）如图，CDAB于D，则ACBC。（ ）,练习,判断 （1）如图，CDAB于D，则ACBC。（ ）,（2）如图，ADBD，则ACBC。（ ）,练习,如图,AB是ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_, DA=_.,4cm,6cm

7、,练习,MN是AB的垂直平分线，EF是BC垂直平分线。PA与PC是否相等，为什么？,M,练习,如图，在ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么BCD的周长是_cm.,(2),26,练习,如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果 AC=5cm,BC=4cm,那么BDC的周长是（ ）cm。,A. 6 B. 7 C. 8 D. 9,9,练习,你能找到图中相等的角吗?,如图，在ABC中，C=90 ，AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，连接AD，若AD平分BAC，找出图中相等的线段，并说说你的理由。,解：AB的中垂线DE交BC于D， 交AB于E，,EB=E

8、A ，,DB=DA ；,AD平分BAC ，,DCAC，,DEAB，,DC=DE,AC=AE,DAB=ABC=DAC，,练习,14.1 线段的垂直平分线,例1 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC;,练习,结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。,练习,已知:如图,在ABC中, AB、BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线上吗？为什么？,B,A,C,开启智慧,外,想一想，做一做,用尺规作线段的垂直平分线,已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线,作法：1分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于

9、点C和D 2作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线,练习 1 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PAPB,提示：连结AB,作AB的垂直平分线，交直线l于P,点P就是所求的点。,2 如图，已知AECE， BDAC求证： ABCDADBC,证明： AECE， BDAC BA=BC DA=DC(线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等) BA+DA=BC+DC,3 如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证： 点D在AC的垂直平分线上,证明： BDADBC AD=BC-BD=CD 点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段

10、的垂直平分线上),3 如图，AB=AC,MB=MC上,求证： 直线AM是线段BC的垂直平分线上,B,东城新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,生活中的数学,定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合,线段的垂直平分线,定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作

11、是和线段两上端点距离相等的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合是一条直线,例：如图所示，AD为 ABC 的高，B 2C ，借助于轴对称的性质想一想：CD与ABBD相等吗？请说明你的理由。,答：相等，理由如下： 在DC上截取DE使DEDB，连接AE ADBE且DBDE B、E关于AD对称 ABD与AED关于直线AD对称 ABD AED ABAE，AED B 又 B2 C AED 2 C 而AED C CAE CAE C AECE ABCE 故ABBDDEEC 即：ABBDCD,拓展：,1.如图所示，在ABC中，AB=AC32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求BCN的周长。,例题：,如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， BCE的周长为26cm，求BC的长。,C,如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.,点P为所求 作的点,课堂小结,这节课你有哪些收获？,1、线段垂直平分线的逆定理