一元二次方程全章讲义

1、九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一 ：一元二次方程的定义（一）知识点：1、只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。3、一元二

2、次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a0）的形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. （二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0练习 1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）

3、3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=02、下列方程是一元二次方程的有_。（1）x2+5=0（2）x23xy+7=0（3）x+=4（4）m32m+3=0（5）x25=0（6）ax2bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有_.x22xy1 5x20 x21=3x（m21）xm26 3x3x0 x2+1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2x=3（x22）化成一般形式是 .（2）把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、

4、把一元二次方程（x+2）（x3）=4化成一般形式，得（ ） A、x2+x10=0 B、x2x6=4 C、x2x10=0 D、x2x6=02、将方程3x22x1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,1 B. 3,2,1 C. 3,2,1 D. 3,2,13、 一元二次方程3x2x2=0的一次项系数是_，常数项是_4、方程4x2=3x-+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 5、把方程x(x+1)=4(x1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题 （1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是

5、一元二次方程，则a的取值范围是_练习1、 已知（m+3）x23mx1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。 2、方程（2a4）x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？ 3、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程？ 4、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ （2）若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是 练习 1、关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 2、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 3、当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=

6、x2（x+1）是关于x的一元二次方程？ （3）方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A. m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m2 a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b4)2+|a-b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.练习 1、方程(m-2)+6mx+15=0是关于x的一元二次方程,则m为何值？ 2、a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.（4）求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 练习 1、 求证：关于x的方程（m

7、2-4m+20）x2+3m+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程2、求证：关于x的方程（m2 + 5m+7）x2+9mx+10=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程知识点二：开平方法解一元二次方程（一）知识点1、如果方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以用开平方法求解。开平方法的理论依据是平方根的定义。2、 开平方法的理论依据是平方根的定义。3、 适合用开平方法解的一元二次方程有三种类型：x2=m(m0);(x+m)2=n(n0);a(x+m)2=b(ab0且a0)（二）经典例题例1：x2=36 3x2=37 x2-48 =68 x2+ =0练习x2=625

8、 6x2=51 x2-128 =- 60 x2+=0例2：(x-1) 2=5 (2x-1) 2=27 (-3x-5) 2=8 (8x+9) 2-169=0练习(x-7) 2=63 (6x-2) 2=125 (-5x-11) 2=130 (2x+) 2-=0例3：9(x-3)2-49=0 25(-2x+4)2-16=0 -3(x+9)2+9=0练习6(2x+5)2-9=0 8(6x+3)2-9=0 -3(-5x-4)2+84=0 (xm)2=n(n为正数)；例4x 2+6x+9=2 -2x 2+4x-2=-1练习x 2+10x+25=20 x 2-8x+16=25 -5x 2-16x-=-2 例

9、5：应用市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率练习1、 一件商品原来售价100元，经两次连续降价，现在售价为81元,求每次降价的百分率？2、 某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月份起强化管理，产量逐月上升，七月份达到648吨，那么该厂六，七两个月的平均增长率是多少？3、3、 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工

10、程”11 76万元求A市投资“改水工程”的年平均增长率；知识点三 :配方法解一元二次方程（一）知识点：1、 定义:通过把一个一元二次方程配方成完全平方的形式，既的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。2、 配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2 =q的形式，如果q0，方程的根是x=-p；如果q0,方程无实根3、 用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当（二）

11、典型例题类型一：二次项系数为1的一元二次方程解：移项得： 配方得： 即：解方程得： 即：例一：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 练习：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-14x+24=0 （2）x2+6x-16=0 （3）x2+12x-15=0 （4） （5）类型二：二次项系数不为一的一元二次方程用配方法解一元二次方程：将二次项系数化为1即移项，得配方，得即开平方，得移项，得例二：用配方法解下列关于x的方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3） x2-x-4=0 （4）-3x2+5x= -2练习：用配方法解下列关于x的方程 （1）

12、2x2-x-2=0 （2）3x 222x240 （3） (4) 类型三：换元法解一元二次方程例三：用配方法解下列关于x的方程 （1+x）2+2（1+x）-4=0 练习： 3（2x+1）2+5(2x+1)=0 （x-1）2+ 8（x-1）=9 例1、 配方法的应用（1）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ）（2）若x2-2（k+1）x+k2+5是一个完全平方式，求k的值。练习：1、如果是一个完全平方公式，则_知识点四：因式分解法解一元二次方程（一）知识点： 依据A.B=0则A=0或B=0 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0方程特点：左边可以分

13、解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ， （二）典型例题例1解方程（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+ (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 例2已知9a2-4b2=0，求代数式的值例3、的根为（ ）A B C D 例4、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例6、已知,则的值为 。变式：已知,且,则的值为 。针对练习：1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ） A.1个

14、B.2个 C.3个 D.4个2、以与为根的一元二次方程是（）A B C D3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。6、已知，且，求的值。7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。知识点四：公式法解一元二次方程（一）知识点：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括

15、了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根（5）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。条件：公式： ,（二）典型例题：例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4

16、）4x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 例2某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 针对练习： 一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2= Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（

17、 ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当x=_时，代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值例3、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：

18、对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.知识点五 ：一元二次方程的判别公式（一）知识点：1、 将一元二次方程ax2bxc=0(a0)进行配方， 2、根的判别式:（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根注意：在使用根的判别公式时，必须先将一元二次方程化为一般形式ax2bxc=0.（二）典型例题类型一：不解方程，判断一元二次方程根的情况。例1、判断下列方程根的情

19、况2x2+x-1=0； x2-2x-3=0； x2-6x+9=0； 练习：判断下列方程根的情况 2x2+3x-4=0 x2-x-4=0 2x2+x+1=0 x2-2x-1=0 x2+x+2=0类型二：已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件例：（1）当m为何值时关于x的方程（m4）x2（2m1）x+m=0 有两个实数根？ （2）当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根有两个实数根 有一个实数根有实数根 无实数根练习：（1） 已知关于x的方程ax23x1=0有实根，求a的取值范围.（2） 关于x的方程x22x+k

20、=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（3）已知一元二次方程x24xk=0有两个不相等的实数根.求k的取值范围；如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24xk=0与x2mx1=0有一个相同的根，求此时m的值.类型三：证明方程根的性质例：（1）求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。（2）已知：关于x 的方程x2+(m-2)x+0.5m-3=0求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值（3）已知关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0

21、有两个相等的实数根。求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实数根。练习：1、已知方程x2+（a-3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a的取值范围是什么？2、 已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。3、已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)+m-2=0(1)求证无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根。（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m-11,求的值知识点六：韦达定理（一）知识点：韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么利用根与系数的关系求

22、值，要熟练掌握以下等式变形： ，说明：(1)定理成立的条件（2）注意公式重的负号与b的符号的区别（二）经典例题1、计算对称式的值例1：已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，4（x1x2） ，6x1x2 。练习1、已知是一元二次方程的两根，则x1x2 ，x1x2 ，9（x1x2） ，9x1x2 。2、 若、是方程2+2x-17=0的两根，则x1x2 ，x1x2 ，4（x1x2） ，6x1x2 。3、已知x1，x2是一元二次方程-3x+1=0的两根，则x1x2 ，x1x2 ，7x17x2 ，8x1x2 。例2：已知x1，x2是一元二次方程7-3x-1=0的两根，求：

23、(1) ；(2) ；(3) ；(4) 练习1、已知x1，x2是一元二次方程-3x+1=0的两根，求 (1) ；(2) ；(3) （x1-3）（x2-3）；(4) 2、已知x1，x2是一元二次方程-3-8x+1=0的两根，求 (1) ；(2) ；(3) （x1-7）（x2-7）；(4) 3、已知方程的两根为、，且 ,求下列各式的值:（1）= ；（2）= ；（3）= ；（4）= .例3： 若是方程的两个根，试求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6） 练习1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6） 2、设是一元二

24、次方程4x26x-30的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）3（）（5） （6） 3、设是一元二次方程2x26x30的的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6） 4、已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2006b+b2)= _ 例4：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为_ ，另一个根为_ .练习 1、一元二次方程 的一个根为，则的值为_ ，另一个根为_.2、已知关于x的方程-(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m的值.3、 已知关于

25、x的方程2-(m+1)x+1-m=0的一根为-1，求它的另一个根及m的值.例5：在关于的方程中，（1）当两根互为相反数时的值；（2）若两个根之差为5时m的值（3）当两根互为倒数时的值（4）若方程一根是另一根的2倍，求m的值练习1、若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;2、在关于的方程中，（1）当两根互为相反数时的值；（2）若两个根之差为5时m的值（3）当两根互为倒数时的值（4）若方程一根是另一根的3倍，求m的值3、 已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。4、已知方程

26、x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程5、关于的方程的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求的值.例6：关于的方程有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求的值. 练习1、 已若关于的方程两根的平方和是9. 求的值.2、已知方程的两根之差的平方是7，求的值.3、 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7,求a的值.2、构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例1： 解方程组 x+y=5 xy=6练习1、 解方程组例2：若实数，且满足，则代数式的值为( )练习1、已知，且，则 2、若m,n分别满足：19+20m+1=0, +

27、20n+19=0，且，求的值3、 已知aa210，bb210，ab，求abab的值4、若实数x、y、z满足x6y，z2xy9求证：xy例3：求出以一元二次方程的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。练习1、 解方程，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。2、2、若、是方程-7x+8=0的两根，求作一个新的方程，使它的两个根分别为： 3、已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以，为根的一元二次方程.3、定性判断字母系数的取值范围例1：m为问值时，方程x2mx30与方程x24x(m

28、1)0有一个公共根？并求出这个公共根练习 1、设方程x2pxq0的两根之差等于方程x2qxp0的两根之差，求证：pq或pq42、 已知方程的两实根是，方程的两实根是和，求m和n的值。3、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 例2：当m取什么实数时，方程（1） 有两个正实根。练一练：若方程有两个正根，则实数的取值范围 （2） 有一正根和一负根，求m取值范围。练一练：已知一元二次方程。当a为何值时，方程有一正、一负两个根？（3）有两个负实根练一练：已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求

29、实数k的取值范围.（4） 两根都大于1，求m取值范围。练习1、 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1.2、 若方程的两个实根都在和4之间，实数的取值范围是提示：3、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，则实数的取值范围知识点七： 二元一次方程应用题（一）知识点：解应用题步骤 即：1审题；2设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3找等量关系列方程；4解方程；5判断解是否符合题意；6写出正确的解（二）典型例题：1、传播问题关键是找好

30、传播规律，可以自己举个例子从一个人算起。有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人 可传染人数 共传染人数第0轮 1（传染源） 1第1轮 x x+1 第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1) 列方程 1+x+ x(x+1)=121 解方程，得 X1=10，X2=-12 X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。 类似问题还有树枝开叉等。练习题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 2、某种植物的主干长出若干数目的

31、支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？2、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。（a）平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？解：

32、设每年经营总收入的年增长率为a. 列方程， 60040%(1+a)2=2160解方程， a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为0.2 则 2001年预计经营总收入为：60040%(1+0.2)=60040%1.2=1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.（b）平均下降率问题从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升问每次倒出溶液的升数？剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（x）升根据20升纯酒精减去两次倒出的

33、纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数20xx5练习题1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期

34、存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）3、商品销售问题常用关系式：售价进价=利润 一件商品的利润销售量=总利润 单价销售量=销售额）例1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出6

35、00个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?解：设定价为x元，则应进600-10（x-40)个根据题意列出方程：（x-30) 600-10（x-40)=10000解这个方程得 x1=50 x2=80 当x=50时， 600-10（x-40）=500当x=80时， 600-10（x-40）=200答：当定价为50元，则应进500个，当定价为80元，则应进200个方法二 解：设定价为（40+x）元，则应进（600-10x) 个根据题意列出方程：（40+x-30) （600-10x) =1

36、0000解这个方程得 x1=10 x2=40 当x=10时， 40+x=50 600-10x=500当x=40时， 40+x=80 600-10x=200答：当定价为50元，则应进500个，当定价为80元，则应进200个1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？2、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每

37、涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？3. 一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。要使每天盈利4500元，问该超市如何定价？4、面积问题例3:如图121，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2x2040x（米2），一条横路所占的面积为32x(米2)纵路与横路所占的面

38、积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x32x2x2)米2，根据题意可列出方程3220（40x32x2x2）570解：设道路宽为x米，根据题意，得3220（40x32x2x2）570整理，得x236x350解这个方程，得x11，x235x235不合题意，所以只能取x11答：道路宽为1米说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图122)，就更易发现等量关系列出方程如前所设，知矩形MNPQ的长MN(322x)米，宽NP(20x)米，则矩形MNPQ的面积为：(322x)(20x)而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米进而列出方程(322

39、x)(20x)570，思路清晰，简单明了 1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面

40、积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.5、银行问题储蓄问题：（有纳税和不纳税两种）教育储蓄、国库券不纳税，其他存款利息需缴纳税基本等量关系：利息=本金利率期数 利息税=利息税率 本息和=本金+利息例题：王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率解：设第一次存款时的年利率为x，

41、根据题意，得100（1x）50（1x）63整理，得50x2125x130解得x1，x2x2不合题意，x10答：第一次存款时的年利率为10练习题1、某商品连续两次降价20%后价格为元，则原价为( )ABCD2、某款手机连续两次加价，售价由原来的元升到元设平均每次增长的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（）3、小明存入“少儿银行”100元钱一年后到期取出本金和利息，将其中50元捐献给希望工程，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后，可得本金和利息共63元，求第一次存款时的利率4、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十

42、一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.6、行程问题：1、(2001福州)甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？解：设甲的速度X整理得解得x=3（舍去）或18答：甲客轮的速度是18海里每小时。1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km

43、处相遇。问甲、乙的速度各是多少?2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.7、工程问题：工作总量=工作效率*工作时间 把工作总量看做单位“1”，工作效率看做“1/工作天数”例题、某工厂贮存350吨煤矿，由于改进炉灶结构和烧煤技术，每天能节约2吨煤矿，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧煤多少吨？解：设原计划用煤x吨，每天烧煤y吨则x