对勾函数的图像与性质探究

1、.第十二讲 对勾函数的图像与性质探究厦门二中 唐文龙一、实验内容探究对勾函数（，下同）的图像与性质，由三部分组成：1）当a,b同号时，探究的图像与性质2）当a,b异号时，探究的图像与性质3）探究对勾函数，与y=ax和y=的图像的关系二、设计理念 通过用超级画板绘制的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力三、实验过程1.探究问题 当a,b同号时研究对勾函数的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程1） 当a0,b0时，请利用超级画板做出函数的图像，借助函数的图像，研究它的

2、性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等2） 打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10，仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值，4） 当a0,b0,b0时 图像在一，三象限当时，由（当且仅当取等号）当时，其性质可仿照进行研究。故而得函数的递增区间是（），（），递减区间是（0，），（,0） 当x0时，在x=时，取最小值，当x0时,在x=时，取最大值4. 当a0,b0时,在x=时，取最大值，当x0,b0时，请利用超级画板做出函数的图像，借助函数的图像，研

3、究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等2） 打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，让a从0慢慢增长到10，b从-10慢慢增长到0仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间,观察函数是否有最值3） 当a0时, 拉动参数a,b对应的滑动块，让a从-10慢慢增长到0, b从0慢慢增长到10类似上述问题研究此函数的图像与性质探究结果当a,b异号时，从对勾函数的图像上看可得到有如下性质：1. 定义域：；值域2. 整体图像是两条曲线，图像分布于各个象限，图像关于原点呈中心对称，是奇函数；3. 当a0,b0时,递增区间是(),(),没递减区间，没有最

4、值；4. 当a0时,递减区间是(),(),没递增区间，没有最值；互动交流a,b 同号与异号两类情况的图像，比较性质的异同点，可以了解当a,b同号时求最值与单调区间是主要研究对象。3. 探究问题探究对勾函数，与y=ax和y=的图像的关系探究过程1）在同一坐标系内，通过用超级画板绘制， y=ax和y=的图像；2）打开文件“对勾函数.zjz”，拉动参数a,b对应的滑动块，观察，与y=ax和y=的图像的变化情况，找出它们之间的关系，找出图像的渐近线。探究结果从函数的表达式看是一个正比例函数与一个反比例函数的和，它的图像反映这一点，可以观察到的图像可以看做是y=ax和y=的图像“叠加”而成，并且由图像可

5、以看出有两条渐近线分别是x=0和y=ax。互动交流在拉动a,b滑块时候，也是分两种情况，就是a,b同号与异号，观察在这两种情况下，的图像是不是都与y=ax和y=的图像有关系，是不是都能找到渐进线。拓展探究 当时候，探究恒成立时，求k 的取值范围探究过程1）问题归结为求在x时最小值，如果用基本不等式，发现x=1才能取到最小值2，但是与题目的x矛盾，故最小值不是22）利用超级画板画的图像，可以看出在时函数是递增的。探究结果在时函数是递增的，所以在x时，也是递增，当x=2时，y有最小值所以k四实验反思 “函数及其性质”是高考的热点、重点，难点。而“对勾函数”是其中一个常见又特殊的函数，了解它的图像性

6、质无疑对学生解题是大有好处的。但是传统的教学方法直接告诉学生对勾函数的图像是什么样子性质是什么不利于学生掌握数学思想方法，而只是单纯记结论而已。真正应该让学生自己通过画函数图像去探究对勾函数的性质，超级画板就提供了这样一个利器，使得这个探究变得方便直观，探究的过程中让学生体会数形结合的数学思想方法，尤其在找单调区间，最值的情况是一目了然。但是超级画板也有局限性，就是在找单调区间端点和最值点还是需要代数上定理来辅助去计算出来。最后在探究3中让学生从另外一个角度去认识对勾函数，同样借助超级画板绘制函数图像以及在a,b参数变化的过程中让学生探究对勾函数与正比例反比例函数图像的关系，使学生对函数的图像

7、性质有更进一步的了解。此外之貌似的函数、分别有什么性质？与函数的关系如何？对于函数性质又怎样？因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。 这些都可以借助超级画板让学生进行探究。附件：课件制作（供参考，建议有能力的老师、同学可以独立制作课件。）1） 单击工具点击y轴的负半轴，画两条与x轴平行的线段AB,CD 2） 按住键盘的“ctrl”选中点B,D，点击菜单的【测量】下的【点】下的【x坐标】就出现B,D的横坐标 3） 双击第一个框，选中“测量x坐标点B: 平行直线上的点:”改成”a=”类似第二个框改为“b=”,如图 4）依次选中B与“a=2.25

8、”，点击菜单的【对象】的【点与OLE对象和文本和图像文本关联】，点击B,D a,b的文本框就跑到B，D上 5）分别双击点B,D改标签为a,b,分别点击A,C，按右键选中菜单中的【隐藏】分别选中点a,b，点击若干次，使点变大，再分别选中a=2.25，b=2.81的文本框选择，使得文本边界消失，效果如图所示6） 点击【作图】下的【函数或参数方程曲线】打开对话框，如图设置就出现对勾函数的图像，选中图像，点击若干次，加粗图像7） 点击，在出现的对话框中如图设置，然后点击若干次，加大文本点击文本和把文本边界去除，效果如图8） 类似6的步骤画y=ax的图像9） 类似7的步骤操作出现y=ax 与y=b/x的图像10）同时选中y=ax表达式与图像点击【课件】下的【隐藏和显