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高中数学
必修
立体几何
题型
归类
总结
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立体几何题型归类总结
一、考点分析
基本图形
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①★
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为r、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
球面积、体积公式：（其中r为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
平行关系
平面几何知识
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
平面几何知识
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
性质
判定推论
性质
判定
判定
性质
判定
面面垂直定义
1.
2.
3.
4.
5.
平行与垂直关系可互相转化
异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★
1．求异面直线所成的角：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移
另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；
三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；
二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。
3求二面角的平面角
解题步骤：
一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；
二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；
三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
二、典型例题
考点一：三视图
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.
俯视图
第1题
2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.
第2题 第3题
3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .
4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是 .
3
正视图
俯视图
1
1
2
左视图
a
第4题 第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 .
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
7.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是
8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
第7题 第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.
图9
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.
正视图
俯视图
图10
11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图11 图12 图13
12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其表面积是_____________.
14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: ), 则此几何体的表面积是_____________.
图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：）_____________.
正视图 左视图 俯视图
图15
16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
图16 图17
17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.
18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.
图18
考点二 体积、表面积、距离、角
注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的______________.
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .
6.平行六面体的体积为30，则四面体的体积等于 .
7．如图7，在正方体中，分别是，中点，求异面直线与所成角的角______________.
8. 如图8所示，已知正四棱锥s—abcd侧棱长为，底面边长为，e是sa的中点，则异面直线be与sc所成角的大小为_____________.
第8题 第7题
9.正方体中,异面直线和所成的角的度数是_________________.
10．如图9-1-3，在长方体中，已知，则异面直线与所成的角是_________，异面直线与所成的角的度数是______________
图13
11. 如图9-1-4，在空间四边形中， ,分别是ab、cd的中点，则 与所成角的大小为_____________.
12. 正方体中，与平面所成的角为 .
13．如图13在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为_______________.
14. 如图9-3-6，在正方体abcd—a1b1c1d1中，对角线bd1与平面abcd所成的角的正切值为_______________.
a1
c
b
a
b1
c1
d1
d
o
图9-3-6 图9-3-1 图7
15．如图9-3-1，已知为等腰直角三角形,为空间一点，且，，，的中点为，则与平面所成的角为
16．如图7，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则o到平面ab c1d1的距离为__________________.
17.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是______________.
18．长方体的8个顶点在同一个球面上，且ab=2，ad=， ，则顶点a、b间的球面距离是_________________.
19.已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 .
20. 在正方体abcd—a1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是_________________.
21．△abc的顶点b在平面a内， a、c在a的同一侧，ab、bc与a所成的角分别是30和45，若ab=3，bc= ，ac=5，则ac与a所成的角为_________.
22．矩形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac将矩形abcd折成一个直二面角b－ac－d，
则四面体abcd的外接球的体积为_____________.
23．已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是 .
24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .
25.已知是球表面上的点，，，，
，则球表面积等于____________.
26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________.
27. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体，，e为棱的中点．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
2.已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) c1o∥面；(2)面．
3．如图，矩形所在平面，、分别是和的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面.
4. 如图（1），abcd为非直角梯形，点e，f分别为上下底ab，cd上的动点，且。现将梯形aefd沿ef折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足，求证：；
e
b
c
f
d
a
图（2）
（2）若折起后形成的空间图形满足四点共面，求证：平面；
a
b
c
d
e
f
图（1）
a
f
e
b
c
d
m
n
5．如图，在五面体abcdef中，fa 平面abcd,
ad//bc//fe，abad，m为ec的中点，
n为ae的中点，af=ab=bc=fe=ad
(i) 证明平面amd平面cde；
(ii) 证明平面cde；
p
d
a
b
c
o
m
6．在四棱锥p－abcd中,侧面pcd是正三角形,
且与底面abcd垂直,已知菱形abcd中∠adc＝60,
m是pa的中点，o是dc中点.
（1）求证：om // 平面pcb；
（2）求证:pa⊥cd；
（3）求证:平面pab⊥平面com.
7．如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作ef⊥pb交pb于点f.
（1）证明pa//平面edb；（2）证明pb⊥平面efd
8.正四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面边长是，侧棱长是3，点e，f分别在bb1，
dd1上，且ae⊥a1b，af⊥a1d．
(1)求证：a1c⊥面aef；
(2)求二面角a-ef-b的大小；
(3)点b1到面aef的距离.
考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角
1. 如图,四棱锥p—abcd的底面abcd为正方形，pd⊥底面abcd，pd=ad.
求证：（1）平面pac⊥平面pbd；
（2）求pc与平面pbd所成的角；
2.如图所示，已知正四棱锥s—abcd侧棱长为，底面边长为，e是sa的中点，则异面直线be与sc所成角的大小为 _____________.
3．正六棱柱abcdef－a1b1c1d1e1f1底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线e1d与bc1所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.
5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥p－abcd中，平面abcd，且pa＝ab，点e是pd的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面aec；
（3）若，求三棱锥e－acd的体积；
（4）求二面角e－ac－d的大小.
考点六 线面、面面关系判断题
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2. 是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：
① ②
③ ④
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
3. 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①；②；③．
其中正确的命题有_________________.
4. 对于平面和共面的直线、
(1)若则 (2)若则
(3)若则 (4)若、与所成的角相等，则
其中真命题的序号是_____________.
5. 关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：
①若且，则； ②若且，则；
③若且，则； ④若且，则；
其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②
③ ④
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
16
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