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1、3.3 Cauchy积分公式,3.3.1.Cauchy积分公式 3.3.2.解析函数的无穷可微性 3.3.3Cauchy积分公式的应用,定理3.11 设区域D的边界是围线(或复围线)C, f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则有：,这就是柯西积分公式.,(3.15),3.3.1 Cauchy积分公式,3.3.2解析函数的无穷可微性,定理3.13 设区域D的边界是围线(或复围线)C, f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则函数f(z) 在区域D内存在各阶导数,并且有,定理3.14 设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区D内解析.,证 设z0为D内任一点,

2、将定理3.13应用于以z0为心的充分小的圆内(只要这个必圆全含于D内),即知f(z)它在此圆内有个阶导数.特别来说,f(z)在点z0有各阶导数.由于z0的任意性,所以f(z)在D内有各阶导数. 这样,由函数在D内解析(注意:仅只假设其导数在D内存在!),就推出了其各阶导数在D内存在且连 续:而数学分析中区间上的解析函数,在此区间上不一定有二阶导数,更谈不上有高阶导数了. 借助解析函数的无穷可微性,我们现在来判断函数f(z)在区域D内解析的一个充分条件-定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理:,定理3.15 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内 解析的充要条件是 (1

3、) ux,uy,vx,vy在D内连续; (2) u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件. 证 充分性： 即定理2.5. 必要性： 条件(2)的必要性以由定理2.1得出.现在,由于解析函数f(z)的无穷可微性,f(z)必在D内连续,因而ux,uy,vx,vy必在D内连续.,3.3.3 Chauchy公式的应用, 柯西不等式 设f(z)在区域D内解析,a为D内一点,以a为心作圆周:|-a|=R,只要及其内部K均含于D,则有,刘维尔定理 有界整函数f(z)必为常数. 证 设|f(z)|的上界为M,则在柯西不等式中,对无 论什么样的R,均有M(R)M.于是n=1有 上式对一切R均成立,让R+,即知f”(a)=0.而a是 z平面上任意一点,故f(z)在z平面上的导函数为零. 由第二张习题(一)6(1)知f(z)必为常数.,代数学基本定理 在z平面上,n次多项式 至少有一个零点.,证 反证法,设p(z)在z平面上无零点.由于p(z) 在z平面上是解析的,1/p(z)在z平面上也必解析. 下面我们证明1/p(z)在z平面上有界.由于,故存在充分大的正数R,使当|z|R时,|1/p(z)|1. 又因1/p(z)在必圆|z|R上连续,故可设|1/p(z)|M (M为正常数),从而,在z平面上|1/p(z)|M+1,于是, 1/p(z

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