数值分析线性方程组迭代法实验

1、实验报告一、实验目的体会求解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛速度。二、实验题目用迭代法分别对解方程组，其中（1）选取不同的初值和不同的右端向量，给定迭代误差，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；（2）取定初值和右端向量，给定迭代误差，将的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。三、实验原理求解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法四、实验内容及结果1.Jacobi迭代法：1）先输入Jacobi迭代的M程序，在MA

2、TLAB的M文件窗口中输入以下内容并保存：function x=majacobi(A,b,x0,ep,N)n=length(b);if nargin5,N=500;endif nargin4,ep=1e-6;endif nargin3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;while kN for i=1:n x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1,i+1:n)*x0(1:i-1,i+1:n)/A(i,i); end if norm(x-x0,inf)ep,break;end x0=x;k=k+1;endif k=N,Warning(已达到迭代次数上限);end

3、disp(k=,num2str(k)2）再输入A，b，x0，在M文件窗口输入以下内容并保存：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*ones(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=A+B+C+B+C;b=ones(n,1);x0=zeros(n,1);x= majacobi(A,b,x0)x3）在MATLAB的主程序窗口输出以下结果：k=10ans = Columns 1 through 10 0.2935 0.3195 0.3366 0.3394 0.3406 0.3408 0.3409 0.3409 0.3409 0.

4、3409 Columns 11 through 20 0.3409 0.3409 0.3409 0.3409 0.3408 0.3406 0.3394 0.3366 0.3195 0.29352.Gauss-Seidel迭代法：1）先输Gauss-Seidel迭代的M程序，在MATLAB的M文件窗口中输入以下内容并保存：function x=maseidel(A,b,x0,ep,N)n=length(b);if nargin5,N=500;endif nargin4,ep=1e-6;endif nargin3,x0=zeros(n,1);endx=zeros(n,1);k=0;while kN

5、 for i=1:n if i=1 x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1); else if i=n x(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1)/A(n,n); else x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i); end end end if norm(x-x0,inf)ep,break;end x0=x;k=k+1;endif k=N,Warning(已达到迭代次数上限);enddisp(k=,num2str(k)2）再输入A，b，x0，在M文件窗口输入以下内容并保存

6、：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*ones(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=A+B+C+B+C;b=ones(n,1);x0=zeros(n,1);x=maseidel(A,b,x0);x3）在MATLAB的主程序窗口输出以下结果：k=7ans = Columns 1 through 10 0.2935 0.3195 0.3366 0.3394 0.3406 0.3408 0.3409 0.3409 0.3409 0.3409 Columns 11 through 200.3409 0.3409 0.3409

7、 0.3409 0.3408 0.3406 0.3394 0.3366 0.3195 0.29353.选区不同的x0值和不同的右端向量b，只需要改变第二步中的b和x0值，具体程序如下：Jacobi的第二次迭代：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*ones(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=A+B+C+B+C;b=2*ones(n,1);x0=ones(n,1);x= majacobi(A,b,x0)xGauss-seidel的第二次迭代：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*one

8、s(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=A+B+C+B+C;b=2*ones(n,1);x0=ones(n,1);x=maseidel(A,b,x0);x输出结果分别如下：k=10ans = Columns 1 through 10 0.5869 0.6390 0.6732 0.6789 0.6811 0.6816 0.6818 0.6818 0.6818 0.6818 Columns 11 through 200.6818 0.6818 0.6818 0.6818 0.6816 0.6811 0.6789 0.6732 0.6390 0.5869k=

9、7ans = Columns 1 through 10 0.5869 0.6390 0.6732 0.6789 0.6811 0.6816 0.6818 0.6818 0.6818 0.6818 Columns 11 through 200.6818 0.6818 0.6818 0.6818 0.6816 0.6811 0.6789 0.6732 0.6390 0.58694.设取定的初值x0=ones(n,1)，b=2*ones(n,1)；改变A的主对角线元素成倍放大，只需要将第二步中的A=A+B+C+B+C改成A=n*A+B+C+B+C(其中n为要放大的倍数，本题取2、3、4、8)。具体程

10、序如下：Jacobi的第三次迭代：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*ones(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=3*A+B+C+B+C;b=2*ones(n,1);x0=ones(n,1);x=majacobi(A,b,x0);xGauss-seidel的第三次迭代：n=20;A=diag(4*ones(1,n);B=diag(-1/3*ones(1,n-1),1);C=diag(-1/5*ones(1,n-2),2);A=3*A+B+C+B+C;b=2*ones(n,1);x0=ones(n,1);x=maseidel(A,b,x0);x因为需要的是迭代的速度，所以只需要看k的值，所以输出结果只给出k的值如下：Jacobi2倍时k=73倍时k=64倍时k=58倍时k=5Ga