高一数学衔接班第5课——不等式

1、高一数学衔接班第5课不等式一、学习目标1. 掌握一元二次不等式的解法，如不等式组法、图象法2. 掌握简单分式不等式的解法3. 会解简单的含字母系数的不等式，会求有关字母取值或取值范围的问题二、学习重点一元二次不等式的解法三、课程精讲1. 新知探秘问题：如何解不等式思路导航：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正（负负）得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组解：方法一：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是点津：当把一元二次不等式化为的形式后，只要等式左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。形如的不等式称为关于的一元二次不等式知识点一：一元二次不等式的解法

2、不等式组法例1. 解下列不等式：（1）（2）思路导航：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数解：（1）原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是（2）原不等式可化为：，即于是：所以原不等式的解是点津：在将不等式化为的形式时，通常把二次项系数化正，还要注意进行正确的分解因式知识点二：一元二次不等式的解法图象法问题：对于如何解不等式，还有其他的解法吗？解：方法二：二次函数（1）作出图象（如图所示）；（2）根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，就是说对应的一元二次方程的两个实数根是（3）当时，对应图像位于轴的上方就是说的解是当时，对应图像位于轴的下方就是说的解是一般地，一元二次不等式

3、可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）求相应一元二次方程的根；（2）观察相应的二次函数的图象。如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根（也可由根的判别式来判断）。如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根（也可由根的判别式来判断） 如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 （也可由根的判别式来判断）。简单的说，求解一元二次不等式的步骤为：（1）求根（2）画图（3）写出解集例2. 解下列不等式：（1）（2）思路导航：按着图象法的解题步骤进行解：（1）不等式可化为一元二次方程的两根为-2、4由图象知，不等式的解是（

4、2） 不等式可化为由图象知不等式的解是仿练：解：不等式对应的一元二次方程无解由的函数图像可知，原不等式无解点津：实际上，“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在联系，简称为“三个二次的关系”； “三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去，即一元二次方程的根是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，也是一元二次不等式解的端点值，当然，这部分内容到高中还会学习到。知识点三：简单分式不等式的解法例3. 解下列不等式：（1）（2） 思维导航：（1）类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组再进行处理；或者因为两个数（式）相除为异号，那么这两个数

5、（式）相乘也为异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解（2）注意到经过配方后，分母实际上是一个正数解：（1）法一：原不等式可化为：法二：原不等式可化为：（2） 原不等式可化为：点津：分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解，当然，还有其他的方法，那就是可以转化成一元二次不等式来求解，但请注意不等式与一元二次不等式是否同解。事实上，它们的解并不相同，的解为，而的解为。例4. 解不等式思路导航：分母当中含有未知量x，而不等式的右端并不为0，此题能直接去分母吗？显然，因为分母的符号不能确定，所以此题不能直接去分母，可以通过移项，把不等式的一端化为0。解：原不等式可化为：点津：（1）转化为整

6、式不等式时，一定要先将右端变为0（2）本例若采取直接去分母的方法，则需要讨论分母的符号：【直击高中】在高中，经常会遇到含有字母系数的不等式，这样的字母我们称为参数，在含有参数的不等式中，由于参数取值的不同，会导致不等式解的不确定，换句话说，参数取值的不同，导致不等式解的结果不同，所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论，从而讨论不等式的解，这种思想就是分类讨论的思想。例如：对于初中很熟悉的不等式最终可以化为的形式（1）当时，不等式的解为：；（2）当时，不等式的解为：；（3）当时，不等式化为：；若，则不等式的解是全体实数； 若，则不等式无解例5. 求关于的不等式的解思路导航：通过移项、整理，原不等

7、式可变形为一元一次不等式的形式，显然不等式的解的情况取决于的符号，所以需要对的符号进行讨论。解：原不等式可化为：（1）当时，不等式的解为；（2）当时，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数（3）当时，不等式无解综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解。仿练：已知关于的不等式的解为，求实数的值思路导航：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令解：原不等式可化为：所以依题意：点津：对于含有参数的不等式往往都需要对参数进行分情况讨论，所以要特别注意运用分类讨论的数学思想。例6. 已知对于任意实数，

8、恒为正数，求实数的取值范围思路导航：恒为正数，即不等式恒成立，无法直接解此不等式，所以需把问题进行转化，考虑“三个二次”的关系，利用二次函数的图像帮助求解。解：显然不合题意，于是：点津：“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”有着密切的联系，解任何一方面的问题，都可以借助其他方面加深对问题的理解从而解决问题，这里面体现着高中数学的又一个重要的数学思想-函数与方程的思想。例7. 已知关于的不等式的解为，求的值思路导航：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与系数的关系可以求解。解：由题意得：点津：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，且，从而

9、解得四、知识提炼解方程或不等式解 的 情 况0=00）x=x1或x=x2无实数解ax2+bx+c0x|xx2Rax2+bx+c0x| x1xx2无解无解五、目标期望 一元二次不等式是不等式的一种重要形式，学好一元二次不等式不仅可以解分式不等式，而且对于处理二次函数，一元二次方程的有关问题都会起到重要的促进作用，希望通过本节课的学习，使同学们能够熟练的求解一元二次不等式及分式不等式，并能运用相关知识处理一些简单的含有参数的不等式问题。六、下讲预告 二次函数是初中的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段，我们已经学习过如何求二次函数的最值，下节课我们将在此基础上继续学习当自变量在某个范围时，

10、函数的最值问题。【同步练习】（答题时间：30分钟）1. 关于的不等式的解是A. 或B. 或 C. D. 2. 不等式的解为A. B. C. D. 3. 不等式的解集为，那么A. B. C. D. 4. 若不等式的解是，则的值是（ ）A. B. C. D. 5. 不等式的解是 . 6. 不等式 的解是_7. 不等式的解是_8. 若不等式的解为求a和b的值。9. 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20. 10. 解关于的不等式【试题答案】1. B. 2. C 3. A 4. A 5. 6. 7. 8. 解：由题意知有解，结合函数图象，可知，由韦达定理，解得， 9. 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21. 不等式的解为 3x1. （2）整理，得x2x60. 0，方程x2x6=0的解为 x12，x23. 所以，原不等式的解为x2，或x3. （3）整理，