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.,4.2 常系数线性微分方程的解法,一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法,.,.,.,.,.,.,一、常系数齐线性微分方程的解法,I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形,.,.,.,I: 特征根是单根的情形,.,.,.,.,.,II: 特征根有重根的情形,.,.,.,.,.,.,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,的方程(其中,形如,叫欧拉方程.,为常数),特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,.,作变量变换,将自变量换为,.,上述结果可以写为,.,将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量,的常系数,线性微分方程.,一般地，,.,特征方程的根为,所以所求方程的通解为,原方程的特征方程为,例,求欧拉方程,解,作变量变换,的通解,.,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,.,练 习 题,.,练习题答案,.,

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