相离的两圆的公切线的做法

1、相离的两圆的公切线的做法摘要：我们知道， 相离的两个定圆 ( O1 半径为 r 、 O2 半径为 R)具有两条内公切线和两条外公切线。 那么，我们该如何运用尺规作图， 作出这些公切线呢？在这里，将介绍几种做公切线的作法， 分别运用了位似的性质、 相似三角形的性质、构造矩形和结合位似和相似三角形。 其中最主要的原理是直径所对的角是直角。一、运用位似的性质。我们知道任意的两个圆都会位似且最多存在两个位似中心 （即位似点），而由位似的定义我们知道， 在两个位似的图形中， 所有具有相同性质的点会交于一个点，就是位似点。那么， 由位似点引出的一条直线，它与两个位似图形的交点应该也具有相同的性质。 所以运

2、用位似的这一性质， 我们可以先找出两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线， 找出了两个具有相同性质的点， 这两点所在的直线与连心线的交点， 就是位似中心。 此时，我们以位似点和某一圆的圆心为直径作圆 , 由直径所对的角为直角，那么我们可以得到该圆的一条切线，又由位似的性质知，该切线与另一圆也相切。作法： 1. 连结 O1 O2，并延长。2. 过 O1、 O2 作 O1O2 的垂线，分别交 O1、 O2 于点 A1 A2。（注：当作外公切线的时候 A1A2 取在 O1O2 的同一侧，当作内公切线的时候取在 O1 O2 的不同侧）3. 连结 A1 A2 并延长，交 O1O2 于点 O。4. 以

3、OO1为直径作圆，交 O1 于点 B1 、B3。5. 连结 OB1 并延长交 O2 于点 B2，连结 OB3 并延长交 O2 于点 B4 6则 B1 B2、B3B4 为两圆的公切线B 2A 1B4A 2B2B1B1A 1位似点 OO1O2O1 位似点 OO2B 3B3B2B4A 2证明：在位似的 O1、 O2 中，已知 A1O1、 A2 O2 都垂直于 O1 O2，则垂线 A1 O1 和垂线 A2O2 的性质相同，它们两端点的连线交于位似点O又 OO1为直径， OB1O1 =90 OB1B2 在同一直线上B1B2 两点的性质相同 OB1O1 = OB2O2 =90B1B2 为两圆的公切线，同理

4、B3B4 也为两圆的公切线。二、运用相似三角形的性质我们知道两个相似的三角形， 它们的对应角都相等， 所以我们可以尝试构造两个相似的直角三角形。 而我们要确定两个直角三角形相似， 只需满足一条直角边与斜边的比例相等即可。 我们在找比例线段的时候， 可以从相似三角形入手， 当我们连接两定圆的连心线， 并作圆心在连心线上的垂线， 会与圆交于两点， 这两.点所在的直线与垂线和连心线就会形成两个相似三角形。 并且它们的相似比就是半径比，我们再以两个三角形在在连心线上的边为直径作圆， 由直径所对的角为直角，我们可以得到两个直角三角形， 且它们有两条边的比都为半径比， 即两个直角三角形相似， 它们的顶角相

5、等， 则它们有一对直角边在同一条直线上， 那条直线即为两圆的公切线。作法： 1.连结 O1、O2，并延长。2. 过 O1、 O2 作 O1O2 的垂线，分别交 O1、 O2 于点 A1A2 。（注：当作外公切线的时候 A1A2 取在 O1O2 的同一侧，当作内公切线的时候取在 O1 O2 的不同侧）3. 连结 A1 A2 并延长，交 O1O2 于点 O。4. 以 OO1为直径作圆，交 O1 于点 B1B3，以 OO2为直径作圆，交 O1 于点 B1B4。5. 连结 OB1 、 OB2，连结 OB3 、OB4。6则 B1 B2、B3B4 为两圆的公切线。B 2A 1B4B 1A 2B 1A 1O

6、1O2OO1O2OB 3B 3B2B4A 2证明：已知 A1 O1、 A2 O2 都垂直于 O1 O2，则 OA1O1=OA2O2=90又 A1OO1= A2OO2，则 OA1O1 OA2O2，且 OO1：OO2=A1O1： A2 O2= r ：R由 OO、OO是直径有 OBO=90、 OOB =90121 12 2又 OO1： OO2= O1B1： O2 B2= r ：R RtOB1O1 Rt OB2O2， OB1O1 = OB2O2 （ HL） OB1B2 在同一直线上 B1B2 为两圆的公切线，同理 B3B4 也为两圆的公切线三、构造矩形我们知道，公切线会垂直于两切点到圆心的连线，如果把

7、公切线沿小圆切点到圆心的方向平移， 就会得到一个矩形， 还会得到一个直角三角形， 该直角三角形有一条直角边为公切线的平行线，另一条为大圆与小圆的半径差（和） ，斜边为连心线。所以，我们可以先在大圆圆心以半径差 （和）作圆 , 再以连心线为直径作圆，交点连结得到直角三角形，接着作出平行四边形即可得到公切线。作法： 1. 1. 连结 O1O2，并延长。2. 以 O2 为圆心， O1、 O2 的半径差 ( 和) 为半径作 O3。（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3. 以 O1 O2 为直径作圆，交 O3 于点 A1、A2 。4. 连结 O2A1、O2A2 并延长交 O2 于点 B

8、2、 B4 , 连结 O1A1、O1A15. 过点 B2 取 B2 B1=O1A1 交 O1 于点 B1，连结 O1B1 。6B1B2 为两圆的公切线，同理B3B4 也为两圆的公切线.B2B 1A 1A 1B 1B4O1O2O1OO2A 2B 3B 2B3A 2B4证明：已知 O1 B1=r 、O2B2=R、O2A1=R-r ， A1B2 =r=O1B1，又 O1A1=B2B1四边形 O1 A1B2 B1 为平行四边形又 O1O2 为 O1 O2A1 直径， O1A1O2 =90 O1A1 B2B1 为矩形， O1 B1B2 = A1B1 B2=90 B1B2 为两圆的公切线 ，同理 B3B4

9、 也为两圆的公切线四、结合位似与相似三角形的由上述证明中，我们知道，公切线与连心线和切点到圆心的连线会组成两个相似的直角三角形， 并且相似比就为半径比。 我们要作的是公切线， 那么我们只要在连心线上找到两段线段等于半径比， 再以这两段线段为直径作圆， 就可以作出两个相似的直角三角形， 那两条直角边同时所在的直线即为公切线。 而连心线上的两段线段等于半径比， 我们可以通过位似的性质， 运用已知的两半径长度构造平行线，找出位似中心从而得到。作法： 1. 连结 O1 O2，并延长。R和 r ，把 OO 连结到 R2. 作一条线段平行于 OO，并在线段上截取长度1212和 r 的和（差）线段 A 1A 2 的端点，两线会交与点 O3。（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）3. 把 O3 与 r 的两端点 A 2A 1 相连并延长，会交连心线 O1O2 于 O1、 O。4. 以 OO1为直径作圆，交 O1 于点 B1B3，以 OO2为直径作圆，交 O1 于点 B1B4。5. 连结 OB1 、 OB2，连结 OB3 、OB4。6则 B1 B2、B3B4 为两圆的公切线。O3O3AA1A 2rRB2A 1r ARA2B1B 4B1OO1O2O1O2B3OB 4B3B 2证明： AA2O1O2，线段