计算方法复习题

1、计算方法复习题一 选择（每题 3 分，合计 42 分）1.x* 1.732050808 ，取 x 1.7320，则 x 具有位有效数字。A、 3B、 4C、5D、62.取31.73 （三位有效数字） ，则31.73。A、 0.510 3B、 0.5 102C、 0.510 1D、 0.53.下面不是数值计算应注意的问题。A、注意简化计算步骤，减少运算次数B、要避免相近两数相减C、要防止大数吃掉小数D、要尽量消灭误差4.对任意初始向量x (0 ) 及常向量 g ，迭代过程 x ( k 1)Bx (k )g 收敛的充分必要条件是。A、 B 11B、 B1C、(B)1D、 B 215.用列主元消去法

2、解线性方程组，消元的第k 步，选列主元ark(k1) ，使得 ark(k 1) 。A、 max aik(k 1)B、 max aik(k 1)C、 max akj(k 1)D、 max akj(k1)1 i nk i nk j n1 j n6.设 ?(x)=5x3 3x2 x 6，取 x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于?(x)的插值多项式为 P3 (x) ，则 ?(0.9)- P3 (0.9) =_。A、 0B、 0.001C、0.002D、0.0037.用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 转化为 x= (x),则 f(x)=0 的根是

3、：。A、 y=x 与 y= (x)的交点B、 y=x 与 y=(x)交点的横坐标C、y=x 与 x 轴的交点的横坐标D、 y=(x)与 x 轴交点的横坐标8.已知 x0 2， f(x0)=46， x1 4， f(x1)=88，则一阶差商f x0 , x1 为。A、 7B、 20C、 21D、42644x dxAk fxkAk _ _。9.已知等距节点的插值型求积公式f，那么3k 0k0A、 0B、 2C、3D、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求_ _。A、 aij 0B、 a11(0 )0 C、 akk(k )0D、 akk(k 1)0bn11. 如果对不超过m 次的多项式，求

4、积公式f ( x)dxAk f ( xk ) 精确成立，则该求积ak 0公式具有次代数精度。A、至少 mB、 mC、不足 mD、多于 m12. 计算积分2 1。dx ，用梯形公式计算求得的值为1xA、 0.75B、 1C、 1.5D、2.5.13. 割线法是通过曲线上的点( xk 1 , f (xk 1 ), (xk , f (xk ) 的直线与交点的横坐标作为方程 f ( x)0的近似根。A、 y 轴 B、 x 轴 C、 y xD、 y( x)14. 由 4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是。A、 2 次B、3 次C、 4 次D、5 次二、 计 算（共 58 分）1.将方程 x 3

5、x 21 0 写成以下两种不同的等价形式： x11 ； xx1x21试在区间 1.40,1.55上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（ 8 分）2. 设方程 f(x)=0 在区间 0，1上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（ 8 分）14dx 的近似值， 要求总共选取 93. 用复化梯形公式、 复化辛卜生公式分别计算积分2x0 1个节点。（ 10 分）4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：.123x115410x20（ 8 分）30.11x325. 给定线性方程组x12x23x314,(1)2x15x22x318,(2)3x1x25x

6、320,(3)写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。 （8分）6. 已知函数 y=f(x)的观察数据为xk 2045yk51 31试构造三次拉格朗日插值多项式Pn (x)（ 8 分）.dy2x7.dxyyy( 0)1在区间 0, 0.8 上，取 h = 0.1 ，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后 4 位数字。（ 8 分）.计算方法答案一、 选 择1. x* 1.732050808 ，取 x 1.7320，则 x 具有 B 位有效数字。A、 3B、 4C、5D、62. 取 31.73 （三位有效数字） ，则 31.73B。A、 0.510 3B、 0.5 10 2C、

7、0.510 1D、 0.53. 下面 _ D _不是数值计算应注意的问题。A、注意简化计算步骤，减少运算次数B、要避免相近两数相减C、要防止大数吃掉小数D、要尽量消灭误差4. 对任意初始向量x (0 ) 及常向量g ，迭代过程 x (k 1)Bx ( k )g 收敛的充分必要条件是 _C_。A、 B 1 1B、 B1C、 (B)1D、 B 2 15.用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元ark(k 1) ，使得 ark(k 1) B。A、 max aik(k 1)B、 max aik(k 1)C、 max akj(k 1)D、 max akj(k1)1 i nk i nk j n

8、1 j n6.设 ?(x)=5x3 3x2 x 6，取 x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于?(x)的插值多项式为 P3 (x) ，则 ?(0.9)- P3 (0.9) =_A_。A、 0B、 0.001C、0.002D、0.0037.用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 转化为 x= (x),则 f(x)=0 的根是： B。A、 y=x 与 y= (x)的交点B、 y=x 与 y= (x)交点的横坐标C、y=x 与 x 轴的交点的横坐标D、 y= (x)与 x 轴交点的横坐标8. 已知 x0 2， f(x0)=46， x1 4， f(x

9、1)=88，则一阶差商 f x0 , x1 为 C 。A、 7B、 20C、 21D、426449.已知等距节点的插值型求积公式fx dxAk fxk ，那么Ak _C_。3k0k 0A、 0B、 2C、3D、910. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求_C_。、 a、(0 )0、 a(k )0D、 a(k 1)0Aij0 Ba11Ckkkk.b11. 如果对不超过m 次的多项式，求积公式f ( x)dxa公式具有 A次代数精度。A、至少 mB、 mC、不足 mD、多于 m2 112.计算积分dx ，用梯形公式计算求得的值为1 xnAk f ( xk ) 精确成立，则该求积k0A 。A、

10、 0.75B、 1C、 1.5D、2.513. 割线法是通过曲线上的点( xk 1 , f (xk 1 ), (xk , f (xk ) 的直线与B交点的横坐标作为方程 f (x)0 的近似根。A、 y 轴B、 x 轴C、 yxD、 y( x)14. 由 4 个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B_。A、 2 次B、3 次C、 4 次D、5 次二、 计 算1.将方程 x 3x 210 写成以下两种不同的等价形式： x112 ； x1xx 1试在区间 1.40,1.55上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（ 8分）解： 令1 ( x )1120.731 ；x2，则1 ( x )x3 ，

11、 |1( x) | |1(1.40) |又 ( x) (1.55),(1.40)1.42,1.51 1.40,1.55 ，故由定理 2.1 知，对任意 x0 1.40,1.55，迭代格式收敛；令 2 ( x)x1，则2 (x)13， | 2( x) | | 2 (1.55) |1. 23 1，故由定理 2.2知，对任12(x1)意 x 1.40,1.55，且 x0x* ，迭代格式发散。02. 设方程 f(x)=0 在区间 0，1上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（ 8 分）解：设方程的精确解为x* ，任取近似根xan , bn (有

12、根区间 )0,1 ，则x xbnan10.0 0 122n 12 n 11,nln 0.00118.970.001ln 2所以至少要二分9 次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001.3. 用复化梯形公式、 复化辛卜生公式分别计算积分14dx 的近似值， 要求总共选取 90 12x个节点。（ 10 分）解：要选取9 个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间0, 1 作 8 等分，即n8 ,10aih0.125h （0 i8 ）h80.125 ， xi414设 fx2，则积分2dx的复化梯形公式为：1xx0 1n142 dxf (xn )1h f ( x0 ) 2f (xi )0 1x2i10.1

13、257f ( x )2f (xi)f (x)20i 18若选取9 个节点应用复化辛卜生公式，则n4 ， h1100.25 ， xiaih10.25h1 （ 0 i4 ）4积分14的复化辛卜生公式为：0 110 1x4x2 dxh1 f ( x0 ) 4n 1f ( x1 )6k 0k20.25 f ( x0 )34f (x6k0kn 12f (xk )f ( xn )k 131 ) 2f ( xk )f ( xn )2k 1将所用到的 xi 与相应的 f xi ，以及 f xi 的梯形加权系数 Ti 、 f xi 的辛卜生加权系数 Si 全部列于下表，得：xif(xi)040.1253.938

14、4620.2503.7647060.3753.5068490.5003.20.6252.8764040.7502.560.8752.26548712那么由复化梯形公式求得14dx0.125 f ( x0 )0 1 x223.138989由复化辛卜生公式求得TiSi11242224222422241172f ( xi )f ( x8 )i1.142 dx0.253f ( x 1 ) 23f ( x0 ) 4f ( xk ) f (xn )01 x6k 0kk 123.1415934. 用列主元高斯消去法解下列方程组：123x115410x20（ 8 分）30.1 1x32123154100541

15、00解：541001.2112.55230.1122.5521.41.96再用“回代过程”可计算解：x31.96 /(1.4)1.4x2 25(1.4) /(2.5)2x1 4210( 1.4) / 51.25.给定线性方程组x12x23x314,(1)2x15x22x318,(2)3x1x25x320,(3)写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。 （8分）解：写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式为x1( k 1)142x2(k )3x3( k ) ,(1)x2(k 1)1 (182x1( k)2x3(k) ),(2)5x3( k 1)1 (20( k)(k )(3)3x1x2),5用高

16、斯 -赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。x1 ( k 1)14 2x2(k )3x3( k) ,(1)x2(k1)1 (18 2x1(k 1)2x3( k ) ),(2)5x3( k 1)1 ( 20 3x1 ( k 1)x2( k 1) ),(3)56. 已知函数 y=f(x)的观察数据为xk 2yk5试构造三次拉格朗日插值多项式解：先构造基函数0451 31Pn (x)（ 8 分）.l(x)x(x)( x)x( x)(x)()()()l(x)( x)( x)( x)( x)( x)( x)()()()l(x)( x) x( x)x( x)( x)()()()l 3( x)(x2) x( x4)( x2) x( x4)(52)(50)(54)35n所求三次多项式为P3(x)=yk l k (x)k0x(x)(x) (x)(x)(x ) ( )x( x )(x ) ( x ) x( x)dyy2x7.dxyy( 0)1在区间 0, 0.8上，取 h = 0.1 ，用改