梁的刚度分析

1、梁的刚度分析,1 概 述,内容,2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分,3 用叠加法求梁的变形,4 简单静不定梁的解法,5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施,6 梁内的弯曲应变能,1 概述,*在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常，安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简单的例子：,第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来看几个基本概念：,举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的为y 轴。弯曲变

2、形后，在 xy 平面内，AB弧AC1B，挠曲线平面曲线AC1B。,1挠度梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向）所发生的位移。,3挠曲线方程从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数, 即：,挠曲线方程,物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。,挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负 转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负,5挠度，转角的正负号规定：,目录,2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分,.挠曲线近似微分方程（的推导）,在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴线的曲率为：,在

3、横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外，还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由 于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小， 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a)式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为：,(b),又：,(9-3),挠曲线近似微分方程,二.讨论：,从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取正号还是取负呢？,我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎两种。我们现在分别讨论：,故等式的右边应取“”号，即：,综上所述，得出：,挠曲线的近似微分方程,三.积分：,下面我们还要对C、D进行确定：,（9-5）

4、,四.积分常数的确定：,一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称为边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确定。,变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点，如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见下图：,2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。,五.举例：,例1.图示简支梁受均布载荷作用，载荷集度为q，梁的跨长为L，求梁跨中点C处的挠度与支座A点处的转角。,根据对称性，可得：,（2）建立挠曲线微分方程,以梁的左端A为坐标原点建立坐标系如图，

5、则：,（3）利用边界条件确定积分常数C、D,将C、D代入（1）（2）得：,（3）,（4）,将x=0代入（3）得：,即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积,从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。,例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。,解：建立坐标系如图：,（1）求支反力,（2）建立挠曲线微分方程,（3）利用边界条件确定积分常数C、D,(4) 将X=L代入

6、（c）(d)式得：,（5）讨论：,由上面可看到：由于固定端处的转角和挠度都为零，故C=D=0，即：它也满足例1中得出的结论。,例3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求 该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。,解：分析象这样类型习题的传统 解法是：以A点为原点,建立坐标系 ，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 及挠曲线方程，然后根据变形条件 和连续条件确定积分方程。从而求 解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一下，就可发现，此梁为一对称结构，因此，我们只需取其一半结构即可得出结果。,(1)求支反力：,由对称性可得：,取AC段为研究对象：,（2）建立挠曲线微分方

7、程,（3）利用边界条件确定积分常数C、D,将C、D代入（1）（2）得：,（4）求结果：,图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并求梁上最大挠度值。,思考题：,目录,3 用叠加法求梁的变形,.概述：,我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法，但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的计算方法之一。 我们在本门课的一开始就曾讲过，材料力学所研究的范围是线弹性范围，变形是小变形，梁的挠度和转角与作 用在梁上的载荷成线

8、性关系。故而当梁同时受几个载荷作用而使梁产生的变形，就等于每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和。,这种用每一个载荷单独作用下梁产生的变形的代数和来代替梁同时受几个载荷共同作用下产生的总变形的方法，我们就称其为叠加法。在用叠加法求梁的变形时，每一个载荷单独作用下产生变形可从本书附录中查到。,二.举例：,例4.图示一简支梁受均布载荷及集中力偶作用，试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处的转角。,（1）首先将梁上的载荷分成两种，如下图，并由附录中查得它们单独作用下，跨中处的挠度和支座处的转角为：,解：,(2).进行代数相加，求得：,例5.图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角,解：,在

9、分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：,由附录中，我们可查得：,由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件可知：,图示，一悬臂梁受集中力作用，试用叠加法求自由端A点处的挠度和转角,思考题,目录,4 简单静不定梁的解法,.概述,对于静不定梁，一般的解决办法有三种：叠加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我们将在以后的几章中介绍，现在我们就用叠加法来解静不定梁。,二.方法：,(2).根据解除约束处的原来约束性质，即变形特点，列出变形关 系。,(1).首先将多余约束解除，代之以支座反力，从而使静不定结构 成为静定结构。,(3).利用物理关系得

10、出补充方程,(4).联立求解补充方程与静力平衡关系,三.举例：,例10.图示超静定梁上作用均布载荷，集度为q，试求其支座反力并绘出该梁的内力图。,(1).由附表可查得：,(2).变形相容条件：,得：,(c),(3).将(a)(b)代入(c)得：,目录,5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施,.刚度条件：,土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。 桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。

11、,由以上的分析：可建立刚度条件如下：,二.举例,矩形横截面,解：分析：今后大家一定要注意：在材料力学中，凡是遇到确定截面的问题，决不会超出两个方面，一个是强度条件，另一个是刚度条件，如果已知条件中给了强度容许值，只需要按强度条件来确定就行了，反之只需要按刚度条件确定就行了，若两方面的容许值都给出了，那就必须分别确定，然后进行比较选择.,(2).按刚度条件设计：,由附录查得：,代入刚度条件得：,(1).按强度条件设计：,综上所述，截面尺寸应按强度条件计算时，刚度条件一定满足。,从附录2的变形计算式中可看出：梁的变形不仅与梁的支承和载荷有关，而且还与梁的材料，截面形状和跨长有关，总的来说，可用下式

12、表示：,三.提高梁的刚度的措施,从上式可发现，当承受的载荷一定时，要想提高梁的弯曲刚度，必须从抗弯刚度和跨长两方面来考虑：,1.增加梁的抗弯刚度：,2减小梁的跨长：,目录,6 梁内的弯曲应变能,又,例7.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例8：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作 用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例9：已知梁的抗弯刚度为EI