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四面体 性质 应用

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正四面体的性质及应用 正四面体是立体几何中的基本几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体倍受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考察学生的数学思维能力和思维品质．因此，一线师生在教学过程中，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，并利用这些结论解决问题，以期能对同学们学习立体几何有所启示． 一、理顺正四面体性质——固本清源 不妨设正四面体ABCD的棱长为a，则存在着以下定理： 定理1．正四面体的3对异面棱均互相垂直，任意一对异面棱之间的距离均为； 定理2．正四面体的高为； 定理3．正四面体的内切球半径为，外接球半径为， 且有； 略证：如图1，易知正四面体的外接球心与内切球心 重合为点O，并且位于正四面体的高AH上， 连结BO、CO、DO，易知， 且，从而AO、BO、CO、DO 两两所确定的平面将正四面体分割成 四个形状相同的正三棱锥：， ，且每一个小正三 棱锥的高都是内切球的半径，于是有， 即，亦即有，所以 ，．故 定理4．正四面体的全面积为，体积为； 定理5．正四面体底面内任一点O到三个侧面的距离的之和；正四面体内任意一点到四个侧面的距离之和(仿定理3利用体积分割法易证)． 定理6．正四面体的侧棱与其底面所成的线面角大小为； 定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为； 略证：设相邻两个侧面所成的角为，由于四个侧面的面积均相等，所以由射影面积公式知． 定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为，相邻两个侧面所成的二面角记为，则有 略证：如图1所示，易知，，由H为的中心， 易知，从而． 定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角． 略证：如图1，在三角形AOB中，，，由余弦定理可求得，于是．同理可得 ． 定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线． 二、运用正四面体性质——化繁为易 1．巧算空间距离 例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积． 分析一：由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解． 解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知 与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球． ∵ 正四面体的棱长为a， ∴ 正方体的棱长为． ∴ 正方体的内切球半径． ∴ ． 分析二：根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离． 解法二．∵ 正四面体的棱长为a， ∴ 由定理1可知，相对棱间的距离为． 即该球的半径为． ∴ ． 例2．在棱长为2的正四面体木块ABCD的棱AB上有一点P（），过P点要锯出与棱AB垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上 锯痕，在面ABC上的锯缝，求锯缝MN的值． 解：如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则 为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知∠MPN也 是正四体相邻两面的二面角的平面角， 即∠NPM＝∠CED，由定理7可知， 于是，在中，由余弦定理得， ∴ 2．妙求空间角 例3．设P为空间一点，PA、PB、PC、PD是四条射线， 若PA、PB、PC、PD两两所成的角相等，则这些 角的余弦值为 ． 解：如图4，构造正四面体ABCD，设P为四面体的中 心，则PA、PB、PC、PD两两所成的角相等， 设，由正四面体的性质，可知余弦值为 例4．如图5，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、 BC的中点，连结AF、CE． ⑴求异面直线直线AF和CE所成的角； ⑵求CE与面BCD所成的角． 解：⑴连结FD，在平面AFD内，过点E作 EG∥AF交DF于点G．则是异面直 线AF与CE所成的角（或其补角）． 设正四面体ABCD的棱长为a，可得， ，．由余弦定理可求 得． 故异面直线AF与CE所成的角为． ⑵由已知易知平面AFD⊥平面BCD，在平面AFD内，过点E作EH⊥FD于点H，连结CH，则∠ECH为CE与平面BCD所成的角． ∵ EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知．∴ ． ∴ CE与底面BCD所成的角为． 例5．如图6，正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC1和DD1是该球的直径，求面ABC与面AC1D1所成角的正弦值． 解：由正四面体性质定理10知正四面体内接于一球， 该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径， 如图所示，即CC1、DD1为该球的直径．连结C1D1，交 AB于点M，连结MC． ∵ MC⊥AB，MD1⊥AB， ∴ ∠CMD1为平面ABC与平面AC1D1所成的角． 设正方体棱长为a，在中，． ∴ 平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为． 归纳反思：正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升． 1.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是　②　． ①面； ②面面； ③面； ④面面． 2.正四面体中，与平面所成角的余弦值为　　． 3.如图，正四面体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则的值为　　 A．4 B． C． D．2 选：． 4.以下说法 ①三个数，，之间的大小关系是； ②已知：指数函数过点，则； ③已知正四面体的边长为，则其外接球的体积为； ④已知函数的值域是，，则的值域是，； ⑤已知直线平面，直线在内，则与平行． 其中正确的序号是　①③　． 5.在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 选：． 6.在正四面体中，、分别为棱、的中点，连接、，则异面直线和所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 选：． 【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．本题易错点在于要看清是求异面直线和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要错选答案． 7.如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 选：． 8.棱长为1的正四面体中，为棱上一点（不含，两点），点到平面和平面的距离分别为，，则的最小值为　　． 【考点】：基本不等式及其应用 【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：不等式 【分析】设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点．设．，，．由，可得．同理可得：．代入利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：如图所示， 设点是正三角形的中心，连接，作，垂足为点．交于点，则点为的中点． 设． ， ． ， ． 同理可得：． ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 9.已知是正四面体棱的中点，是棱上异于端点，的任一点，则下列结论中，正确的个数有　　 （1）； （2）若为中点，则与所成角为； （3）平面平面； （4）存在点，使得过的平面与垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面垂直；：平面与平面垂直 【专题】14：证明题 【分析】连接、，可证明出平面，从而，得（1）正确；取中点，连接、，利用三角形中位线定理证明出、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角，再通过余弦定理，可以求出与所成角为，故（2）正确；根据（1）的正确结论：，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点，使得过的平面与垂直，说明存在的一个位置，使．因此证明出“不论在线段上的何处，都不可能有”，从而说明不存在点，使得过的平面与垂直． 【解答】解：（1）连接、 正中，为的中点 同理，结合 平面，而平面 ，故（1）是正确的； （2）取中点，连接、 中，、分别是、的中点 ，． 、所成的直角或锐角，就是异面直线、所成的角 设正四面体棱长为，在中， 则中 在中， ，即异面直线、所成的角是，故（2）正确； （3）由（1）的证明知：平面 平面 平面平面，故（3）正确； （4）若有，根据（1）的结论， 因为、相交于点，所以平面 中，， 可得是锐角，说明点在线段上从到运动过程中， 的最大值是锐角，不可能是直角， 因为平面，与不能垂直， 以上结论与平面矛盾， 故不论在线段上的何处，都不可能有． 因此不存在点，使得过的平面与垂直． 综上所述，正确的命题为（1）（2）（3） 故选：． 10.棱长为的正四面体中，给出下列命题： ①正四面体的体积为； ②正四面体的表面积为； ③内切球与外接球的表面积的比为； ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值． 上述命题中真命题的序号为　②③④　． 【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离 【分析】①正四面体的高，体积为，计算即可判断出正误； ②正四面体的表面积为，即可判断出正误； ③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得，即可判断出正误； ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简即可判断出正误． 【解答】解：①正四面体的高，体积为，因此不正确； ②正四面体的表面积为，正确； ③分别设内切球与外接球的半径为，，则，解得；，解得． ，因此表面积的比为，正确； ④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为，则，化简可得：，即为正四面体的高，均为定值，正确． 上述命题中真命题的序号为②③④． （学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报） 16 / 16下载文档可编辑

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