第四章正弦稳态分析

1、第四章 正弦稳态分析,在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化，且电路已工作在稳定状态时，则相应的响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值和相位不同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。,第一节 正弦量及其描述,一正弦量的时域表示,1周期T 频率f 和角频率,2相(位)角、初相(角)与相位差,称为初相角或初相，为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离，规定 | 。 =0的正弦量可视为参考正弦量。,相位差：两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的初相之差(与t无关的常数)。,ui 0(u i )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u ；,ui0(

2、u i )：称u相位滞后于i 或称i相位超前于u；,ui =0 (u =i )：称u与i 同相 ；,ui =： 称u与i反相 ；,ui =(2) 称u与i正交。,例：指出下列几种情况下的相位差是否正确？,2、,3振幅(幅值、最大值)与有效值(effective value),有效值：若一周期性电流i在一个T内流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间内流过同样R所作的功，则I就定义为的i 有效值。,有效值即方均根值,瞬时值为小写字母如i， u；最大值为相应的大写字母上加足标m如Im, Um；有效值为同直流相应的大写字母如I， U。,3、,表示u1超前u2(-165。)，即u1落后u2

3、165。,正弦量的有效值,交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V)；而耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V,二正弦量的相量表示,1、正弦交流电路分析时必然涉及正弦量的运算。列：,解：直接用三角函数进行：,上述运算较复杂。若遇乘、除法则更复杂。观察到u的与u1 、u2相同，只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立某种联系，可使之运算得到简化。,2、正弦量与复数的关系,复数（复习）,（1）复数的表示法,代数式（直角坐标式）,极坐标式（电路分析中常用）,（2）代数式与极坐标式间的相互转换,由欧拉公式将复指数函数展开：,（3）复数的四则运算,相等：两复数的实部和虚部分别相等

4、。,加减：,加减运算也可以用平行四边形法则或多边形法则在复平面上用作图法进行。,乘、除：,用相量来表示正弦量, 正弦量为一复数的实部,称为正弦量i的有效值相量(phasor)。,大写字母I 上加小圆点是为了使之与有效值I 相区别，相量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数,反映其幅值和相位。,为旋转矢量，ejt为按角速度逆时针旋转的旋转因子,为此旋转矢量在实轴上的投影（即该时刻电流i的瞬时值）,相量与正弦量一一对应。给定了正弦量，就可写出其相量；反之， 给定相量及，就可写出其正弦量。,解：,4正弦量运算与相量运算的对应,例：,同频率正弦量相加(减)对应为相量的加(减)。,正

5、弦量的加减运算,解：,可见相量计算比三角函数法计算简便。,例2：(5+j4) (6+j3)=18+j39,例3：,例4： 10 -60 =5-j8.66,相量图：相量在复平面上的图称为相量图。 将几个表示同频率的正弦量的相量画在一个相量图上，可直观、清楚地看出它们的相位关系，还能用几何、三角方法求出待求量，这给计算带来方便。,正弦量的微分与积分计算,正弦量求导与相量j对应,正弦量积分与相量j对应,同理,振幅为原来的倍，初相增加90,振幅为原来的1/倍，初相减小90,正弦稳态下R、L、C 等元件的VAR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知正弦量微分方程可对应为的相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用

6、比较简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式。,第二节 电阻、电感和电容的相量形式的VAR,一、R元件：,当UL 一定时，L越大，IL 就越小，XL =L 称为感抗,量纲L=VA= 越大，XL 越大，高频信号就越难以通过L；=0，XL =0,直流下L可等效为短路.,二、L元件：,作业：4-3、4-4、4-5、4-7,三、C元件：,UC 一定时1C越大IC 就越小 XC = -1C称为容抗,量纲1C=VA=, 越大，即XC 越小时，高频信号就越容易通过C；=0，即XC 时，直流情况下C可等效为开路.,第三节 电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳,一、

7、KCL、KVL的相量形式：,R、L、C相量形式的VAR,二、复阻抗、欧姆定律的相量形式：,线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为等效复阻抗Z (complex impedance),欧姆定律的相量形式,Z是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点,Z、|Z|、R、X的量纲皆为，且满足“阻抗三角形”,Z=|Z|Z,Z=R + jX,等效复阻抗Z的两种坐标表示,1、代数形式,2、极坐标形式,R、L、C的复阻抗,N个复阻抗串联：,阻抗“性质”：,相量形式分压公式：,X=0(Z = u i =0)： ， 同相，N0呈电阻性(谐振状态),X0(Z =u-i 0)： 超前于 ，N0呈(电)感性,X0

8、(Z =u-i 0)： 滞后于 ，N0呈(电)容性,例1：图示电路已知： ，试求正弦稳态下的i 、uR 、uL 与uC ，并作相量图。,对正弦量的二阶微分方程很难求解。,解：,建立电路的相量模型如图,其中:,讨论：,串联电路以电流相量为参考作电压相量比较方便；并联电路以电压相量为参考作出电流相量比较方便。,i)对RLC串联正弦稳态电路有：,的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故；,iii) Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗与其电压相似：,ii) UL =240V，UC =160V，都大于电源电压U =100V(DC 电路不会如此)，这是由于电感上,其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆

9、为西门子(S).,三、复导纳Y (complex admittance),线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳。,Y代数形式所对应的“并联模型”的导纳与其电流相似,Y与Z的关系 ：,（1）显然有：,得：,（2）且由：,注意：当Z 0时，上式中的G1/R，|B|1/| X |且B与X异号。,反映了Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系,对应得：,Y的“性质”：,B=0(Y=i-u=0)， 、 同相，N0呈电阻性(谐振状态)；,B0(Y =i-u 0)， 滞后于 ，N0呈(电)容性；,B0(Y =i-u 0)， 超前于 ，N0呈(电)感性。,BL为感纳BC为容纳。,由于Z(

10、j)是随频率而变的，因此不存在一个适用于所有频率的具体等效电路。在一定频率下，可得到一个只适用于该频率的等效电路，上述等效变换也就是在一定频率下得到的，这一等效电路也只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。,例如：,若改变，则G，L数值也随之改变,例2：已知R=2000，f=400Hz,要使 与 相位差为 求：L?,解：先作相量图,例3：图示电路，is(t)为正弦电流源，其=1000rad/s，调节C=1F时， is(t)与其端电压u(t)同相，此时电压表V1的读数为30V，V2的读数为40V。求：R和L的值？,解：,作业：4-8,4-10,4-11,4-12,4-13,第四节 正弦稳态功率,一

11、、瞬时功率p(instantaneous power),则网络N吸收的瞬时功率：,图中u、i 对N而言为关联方向，若设：,以图示电路（感性0）为例，电路的u,i,p的波形如图:,其物理意义为：,p的恒定分量(算术平均值) P = UI cos 反映了N消耗的平均功率；,p0时，N内L、C 释放的能量R所消耗，另一部分外电路；,| 越接近于/2，则阴影部分就越接近于半个周期，P = UI cos就越接近于0，即与外电路能量交换的规模就越大。,瞬时功率的实用意义不大，平均值才能反映网络实际吸收的功率。,p0时，外电路能量一部分被N内R所消耗，另一部分L、C储能；,二、平均功率P(average p

12、ower)、功率因数( power factor),R、L、C元件的功率表达式如下：,p的算术平均值 P = UI cos 反映了N消耗的平均功率，N的平均耗能速率；亦称为有功功率(active power) 。,= cos称为功率因数( power factor) , 称为功率因数角(N无源时为阻抗角)。 后面附加“滞后”指i滞后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性).,三、无功功率Q（reactive power）,为了反映能量交换的情况，引入：,规定其SI单位为：Var(乏，无功伏安)。,当0,感性电路,Q0，,对单个电感来说, “吸收”无功功率;,当0,容性电路,Q0，,对纯电容而

13、言, “发出”无功功率;,无功功率表示电路中储能元件，其储存的能量与外部电路来回交换的情况。它与有功功率在耗能这个角度上说，有着本质的差别：有功功率表示电路实际所消耗的功率，电能转变成热能等其它形式的能量消耗掉了，而无功功率并不表示单位时间所作的功，它仅表示储能元件与外电路（电源）之间能量的来回交换，在其过程中本身并不耗能。,正”吸收”，电能（电源或电容储能）磁场能量储存；,无功功率正、负的含义：,负”发出”，电容储能外电路（电源或电感储能）；,四、视在功率S（apparent power）,实际用电设备的容量取决于其工作的额定值UN 、IN (有效值)，用“视在功率”来表征这种容量。,S的量

14、纲也是W，但规定其SI单位为“伏安”(VA),而负载（用电设备）真正从电源处所获得的功率是在视在功率基础上打了一个折扣，S也称为表观功率。,S =UI,P =UI cos= S,1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗电压与功率相似：,2、Y代数形式所对应并联模型的导纳、电流与功率相似：,3、为了区分正负时，常在后面附加“滞后”或“超前”字样。“滞后”指i滞后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性).,六、复功率(complex power)，功率平衡,1.复功率,对无源网络串联等效模型Z = R + j X ，有：,对无源网络并联等效模型Y = G + j B ，有：,2复功率平衡：设网络共有b

15、条支路，电压电流取关联方向则：,电路中复功率具有守恒性，即某些元件（支路）发出的复功率恒等于另一些元件（支路）吸收的复功率。也可以说成电路中总的有功功率是各部分有功功率之和，总的无功功率是各部分无功功率之和，但是总的视在功率并不是各部分视在功率之和。,例：三表法测线圈交流参数R和L：,解：,五、功率因数(=cos)的提高,原因,由于电力系统的负载多为感性负载（如日光灯、电机、电扇等），故提高的方法：在感性负载的“附近”（如某单位的变电所）并联适当的电容，不会影响原负载的工作状态（电压电流不变）。,（1）低的功率因数使得有功功率远低于视在功率S,从而直接影响电源设备得利用率。,（2）通常恒压供电

16、，输送一定得P， 越小，则电流越大，输电线路的损耗也越大。,例：原电路P =10kW，U=220V，cos1 =0.6(感性)。使电路的cos提高到0.9所需C ？,解：小于1，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、电流的大小和相位不变（负载工作状况不变）；而总电流（输电线路）I明显小于I1 。,由cos1提高到cos 所需C的公式,并联电容不改变电路的P，只改变其无功（无功补偿）由P tg1= QL变为Q =P tg =QL + QC = P tg 1 CU 2,要使cos提高到接近于1，所需的C将要大大增加，但I的减小已十分有限了 效益差 故一般将cos提高到0.9左右即可。,如果负载的阻

17、抗角不变，而模可变，获得最大功率的条件？,第六节 最大功率传输,一、问题的引出与结论,ZL= ? 时可使PL=Pmax=？,得P L 达极大值时,Z L d = Z i*= Ri - jXi （共轭匹配）,讨论：共轭匹配时，电路的效率为50%，实际电路的效率可能更低，电力系统希望尽量大不运行在匹配状态。在弱电系统，为使负载获得最大功率，可忽略其无关紧要的效率问题。,当ZL=RL(纯电阻负载)时,例1：图示电路，ZL为何值时获得最大功率？最大功率Pmax=？,解：戴维南定理化简（K，mA互抵消）,第五节 正弦稳态电路的一般相量分析法,一、分析方法概述：,对于电阻电路：有i = 0，u = 0及u

18、 = R i 等效变换、独立变量法、网络定理,正弦稳态下变为： 相量形式的上述各方法。,（4）所有的方程均为相量与复数的关系式，不但有大小关系，还有相位关系。且一个复数方程可对应为两个实数方程(实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程)。,相量法在DC分析法的基础上，还具有以下特点：,（1） 涉及复数运算，计算量大。,（2）同一电路的阻抗串联模型的阻抗、电压及功率相似；或导纳并联模型的导纳、电流及功率相似。因此可借助这些Rt的关系使计算简化。,（3）可借助其它一些几何关系及相位关系(如等腰、等边、同相、反相、正交等)使分析简化。,（5）功率花样多(P、Q、S、 ）,例1：求右图电路各节点的电压：,

19、解：电路的相量模型建立如图：节点1不写；节点2、3的方程为：,例2：已知：,求：a，b端的戴维南及诺顿等效电路。,解：,例3：图示测量电感线圈参数电路。已知：U=100V，R2=6.5，R=20 ，当调节触头C使Rac=4 时，电压表V读数最小，其值为30V，电源频率f=50Hz。求：r、L的值？,据题意作出相量图,例4：已知：R1=R2=R3=R4=R5=1，C1=1F，C2=2F。求：输出电压与输入电压之比,解：含运放电路的计算，一般采用节点分析法。 注意两点：1、对节点、列方程时，应用运放的虚断特性（输入端电流为零）；2、运放输出端电流为未知量，故不宜对节点列方程，方程数不足将由虚短特性

20、所对应的方程 所补充。,第七节 串联谐振电路,一、谐振(resonance)的概念,1谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态，它在无线电和电工技术中得到广泛的应用。如收音机中的选频、滤波等。,2谐振又可能会影响某些系统(如电力系统)的正常工作，甚至造成设备危害。从而又是要尽可能避免的。,若 、 同相，策动点阻抗Z的幅角为零，电路呈电阻性，电路此时的工作状态称为谐振。,我们重点讨论串联谐振电路和并联谐振电路,串联谐振：由电感线圈(R、L)和电容器(C)串联组成谐振电路，称为RLC串联谐振电路,欲串联谐振，需使:Im (Z)=0即X()=0,改变f、L、C之一，即可达到上式的串联谐振条件 , f

21、0称为谐振频率,串联谐振：,二、串联谐振的特征,1：Z0 =R，纯电阻性，且| Z0|为| Z |的最小值。,2：,为回路的特性阻抗取决于L和C，与信号源无关，量纲为,3：串联谐振时的电压关系：,Q值的大小反映了谐振的程度。实际谐振电路的Q值可达几十至几百。收音机输入电路就是利用Q 1的谐振回路在电抗元件上获得相当于比信号电压大Q倍的电压信号，以便送入下一级放大。,另一方面，电力系统中电压较高，若串联谐振，就可能造成某些设备的过压、过流而损坏。,4： 串联谐振时L、C的能量关系,即L、C总能量恒定不变，且为电场或磁场能量的最大值。电感中的磁场能量与电容中的电场能量进行交换，而不与电源交换。,如

22、何判断电路处于谐振状态？ 1、电流最大。电路串联电流表，改变电源的频率，保持电压不变，电流最大时，发生谐振。 2、用示波器观察电流与电压波形，电流与电压同相位时，发生谐振。,解： 0 = = 50106 rad/s， =0 L=1000,例1已知= 50106 rad/s，QL =100，L = 200H，US =10mV，求谐振时C =？I0 =？=？UC 0 =？R =？,四、串联谐振时的频率特性(谐振曲线),1阻抗的频率特性,当外激励有效值不变、但频率改变时，电路中U、I、|Z|、Z 等随之变化的关系称为频率特性。可用来表明电路对信号频率的选择性。串联谐振电路的I 关系又称为谐振曲线。,

23、谐振曲线（幅频特性）,相频特性,2电流的频率特性,通用谐振曲线,通频带（带宽）BW,Q值越大，曲线形状就越尖锐，当稍微偏离1时（即稍偏离0），I/I0就急剧下降，表明电路对非谐振频率的电流具有较强的抑制能力，即谐振电路的选择性就好；反之Q值小，选择性就差。,0,电压的频率特性,UL曲线:(1)Q 0.707: =0，UL =0， (0) , UL 经峰值后下降， ， UL =U (2)Q0.707， UL 不经峰值上升至 U,UC 曲线(1)Q0.707: =0， UC =U， (0) UC经峰值后下降, , UC ,， UC =0 (2)Q0.707， UC 不经峰值下降0,Q1时，两峰值非

24、常接近谐振频率，可认为UL0 ，UC0为最大,3电压的频率特性,作业:425,31,33,38,40,作业:4-21，4-23，4-34，4-35,一、GCL并联谐振电路,与RLC串联谐振电路对偶，故有,第八节 并联谐振电路,1、条件,2、特征：（1）谐振频率附近电路呈现高阻抗,当B=0时，出现谐振，Y=G，此时Y最小，则Zmax，L、C并联部分,（2）,（3）,根据这一特点，并联谐振又称为电流谐振,并联谐振电路,RLC串联谐振,GCL并联谐振,二、实际并联谐振电路,精确分析法：,近似分析法：,谐振时：,并联谐振（线圈与电容）电路的品质因数：定义：电容电流或电感线圈中的无功电流与电流源电流之比

25、。,与串联电路具有相同形式，有时也称线圈的Q值,三、RS 、RL 对并联谐振电路的影响,例 求图示电路的0 Q并 BWf ULdo,第九节 三相电路,多相制多个同频率同幅值不同初相的正弦电源按一定方式联接的电路。主要有：二相、三相、六相及十二相等。,电力系统大多采用三相制电路，其具有以下优点：,1）同样尺寸的三相电机比单相电机功率大、且运行平稳（p = P，平衡制）、结构简单、易维护、价格低；,2）输送功率相同时，三相制比单相制可节省约25%的有色金属。,一、三相电源及其联接,1对称三相电源：由同频率、等幅值、初相位互差120的三个正弦电压按一定对称方式联接而成。这三个电源依次称为A相、B相和

26、C相（国标称L1相、L2相、L3相），即以uA为参考正弦量。,则有,对称性(symmetrical),引入对称相位算子：,相序各相到达正向最大值的次序（从越前到滞后的轮换次序）。上图为ABCA，称为正(相)序.若反之，相序为ACBA，则为负序,不作特别说明，均指正序。,2三相电源的联接方式,相电压端线与中线间的电压(对称时有效值记为Up ):,线电压各端线间的电压(对称时有效值记为Ul )如:,1) Y联接,由相量图得,2) 联接,联接时,线电压与相电压为同一个电压Ul=Up，三相电压源构成一个回路，若电压源顺序接错，回路上的电压之和则不为零,由于电源内部阻抗很小， 将会产生很大的环流，使电源

27、损坏。一般用图示电路来判断连接的正确与否.,3三相负载的联接方式,由三相电源供电的负载称为三相负载,也有两种联接方式:Y或,作业:443,44,4三相电路:由三相电源和三相负载构成的复杂的交流电路.正弦 电流电路的分析方法对三相电路完全适用。,三相电源一般保持绝对的对称，三相负载可对称(各相相等),可不对称(各相不等).因此,三相电路又可分为对称三相电路和不对称三相电路.,1)对称三相电路的分析,根据电源和负载联接方式的不同，可构成Y-Y系统， -系统以及Y -系统， -Y系统，后两种系统一般通过负载的-Y变换化为前两种系统的分析。,对称Y-Y系统,由弥尔曼定理得：,对称Y-Y系统,对称Y-Y

28、系统讨论：,1）由于中线上的电压、电流为零，因此中线存在与否，中线阻抗的大小对于电路的计算无影响。,2）因为中线上的电压为零，N、N间可视为用一理想导线联接，这样各相的计算就具有独立性。可在某一相的回路中求解电路。,3）由于三相电流及负载电压对称，可只求一相的值，其它各相直接写出。,注意：不含中线阻抗ZN,对称-系统,由网孔法得：,将负载经-Y变换，电源变为Y联接，系统变为Y Y系统分析，可得相同结果。,负载相电流与线电流相量图如图。可看出在三角形连接中，相电流对称时，线电流也是对称，且有：,对称-系统,2)不对称三相电路的分析,在三相电路中，不论是电源、负载还是联接线，只要有一部分不对称（通

29、常是三相负载不对称），则称为不对称三相电路。,若负载对称，ZA=ZB=ZC=Z，即对称三相电路（包括有、无中线两种情况）,点N、N等电位，两点重合,1、由弥尔曼定理得不接中线时（S打开时）,现因负载不对称，ZAZBZCZ，,点N、N电位不等，两点不重合，这种现象称为中性点位移。,相电压不相等，这对负载是不利的，由于负载不对称，彼此之间互有影响，故不能化为单相来计算。,中性点重合，即不产生位移，各相电压相等，但中线上有电流。,若 ，则 。这时，尽管电路不对称，但在 的条件下，各相保持独立，各相工作情况互不影响，只取决于本相的电源和负载，故可分别化为单相来计算。,实际工作中，中线上不允许接入开关和

30、保险丝，以保证中线不致断开。,例1：书上119页，例4-22。请自学！,2、有中线， ，即开关闭合时，,例2、已知：Z=4.5+j14,Zl=1.5+j2, Ul=380V。求：负载端的线电压、线电流和相电流。,解：利用Y变换，将电路化为 YY系统计算，然后再化为一相来计算。,5三相电路的功率:,三相负载的平均功率等于各相负载平均功率之和。,在对称三相电路中有：,三相负载的无功功率等于各相负载无功功率之和。,在对称三相电路中有：,1）三相电路的功率基本概念:,三相负载的视在功率：,在对称三相电路中有：,三相对称负载的瞬时功率：,对称三相电路，三相负载的瞬时功率不随时间变化，任何时刻都等于平均功

31、率。这种特性称为“瞬时功率平衡”。,2）三相电路的功率的测量:,瓦特表读数：,其中UW为电压线圈所接端子间的电压，方向由同名端指向非同名端， IW为与电流线圈串接支路上的电流，方向由同名端流向非同名端。,一表法：对称三相电路中的平均功率可用一只功率表来测定，其电路负载的功率就为测出的一相功率乘3，即为负载的总功率。,三表法：用于测三相四线制不对称负载。用三只功率表分别测出三相功率，然后相加。,二表法：用于测三相三线制任意负载。在三相三线制电路中，不论负载对称与否，联接方式如何，均可用两只功率表来测量三相功率，这两个功率表读数的代数和等于要测量的三相功率。这种方法称为“两表法”。,对称负载时有：,两表法原理：,设负载为Y联接，则三相瞬时功率为：,两只功率表读数之代数和就等于被测三相电路的功率，一般来说，一只功率表读数没有意义。注意：这里1、2与计算三相功率 中的