2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅰ

1、2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设z=3i1+2i，则|z|=（）A. 2B. 3C. 2D. 12. 已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，3，4，5，B=2，3，6，7，则BUA=（）A. 1,6B. 1,7C. 6,7D. 1,6，73. 已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A. abcB. acbC. cabD. bc0，求使得Snann的取值范围19. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，B

2、B1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离20. 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围21. 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，M过点A，B且与直线x+2=0相切（1）若A在直线x+y=0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1t21+t2，y=4t1+t2（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

3、系，直线l的极坐标方程为2cos+3sin+11=0（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）1a+1b+1ca2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z=，得|z|=|=故选：C直接利用复数商的模等于模的商求解本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题2.【答案】C【解析】解：U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，3，4，5，B=2，3，6，7， CUA=1，6，7， 则BUA=6，7 故选：C先求出CUA，然后再求BUA即可求解本题主要考

4、查集合的交集与补集的求解，属于基础试题3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题由指数函数和对数函数的单调性易得log20.20，20.21，00.20.31，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：a=log20.2log21=0，b=20.220=1，00.20.30.20=1，c=0.20.3（0，1），acb，故选B4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头

5、顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于1050.61865cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（），判断正负即可排除B，C【解答】解：f（x）=，x-，f（-x）=-=-f（x），f（x）为-，上的奇函数，因

6、此排除A；又f（）=，因此排除B，C.故选D6.【答案】C【解析】解：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，系统抽样的分段间隔为=10，46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为an，则an=6+10（n-1）=10n-4，当n=62时，a62=616，即在第62组抽到616故选：C根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码本题考查了系统抽样方法，关键

7、是求得系统抽样的分段间隔7.【答案】D【解析】解：tan255=tan（180+75）=tan75=tan（45+30）=故选：D利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题由（-），可得，进一步得到，然后求出夹角即可【解答】解：（-），=，=，故选B9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可

8、得：A=，k=1；满足条件k2，执行循环体，A=，k=2；满足条件k2，执行循环体，A=，k=3；此时，不满足条件k2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=故选A10.【答案】D【解析】解：双曲线C：-=1（a0，b0）的渐近线方程为y=，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130，得，则=，=，得，e=故选：D由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题11.【答案】A【解析】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，解得3c2=，

9、=6故选：A利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质，属中档题根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程【解答】解：|AF2|=2|BF2|，|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，|BF2|=，|AF2|=a，|BF1|=a，则|AF2|=|=a，所以A为椭圆短轴端点，在RtAF2O中，cosAF2O=，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1=，根据cosAF2O

10、+cosBF2F1=0，可得+=0，解得a2=3，a=b2=a2-c2=3-1=2所以椭圆C的方程为：+=1故选B13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题对y=3（x2+x）ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程【解答】解：y=3（x2+x）ex，y=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3ex（x2+3x+1），当x=0时，y=3，y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k=3，切线方程为：y=3x故答案为：y=3x14.【答案】58【解析】解：等比数列an的前n项和，a1=1，S

11、3=，q1，=，整理可得，解可得，q=-，则S4=故答案为：利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15.【答案】-4【解析】解：f（x）=sin（2x+）-3cosx，=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1，令t=cosx，则-1t1，f（t）=-2t2-3t+1的开口向上，对称轴t=，在-1，1上先增后减，故当t=1即cosx=1时，函数有最小值-4故答案为：-4线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值本题主要

12、考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题16.【答案】2【解析】解：ACB=90，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，过点P作PDAC，交AC于D，作PEBC，交BC于E，过P作PO平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD=PE=，CD=CE=OD=OE=1，PO=P到平面ABC的距离为故答案为：过点P作PDAC，交AC于D，作PEBC，交BC于E，过P作PO平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD=PE=，从而CD=CE=OD=OE=1，由此能求出P到平面A

13、BC的距离本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P=4050=45，女顾客对该商场服务满意的概率P=3050=35；（2）由题意可知，K2=100(40203010)270305050=100214.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K2=，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用

14、，属于基础试题18.【答案】解：（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若S9=-a5，则S9=(a1+a9)92=9a5=-a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d=a5a32=-2，则an=a3+（n-3）d=-2n+10，（2）若Snan，则na1+n(n1)2da1+（n-1）d，当n=1时，不等式成立，当n2时，有nd2d-a1，变形可得（n-2）d-2a1，由（1）可知a1+4d=0，则有（n-2）a14-2a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：1n10nN【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，

15、属于基础题（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，由S9=-a5，即可得S9=9a5=-a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若Snan，则na1+da1+（n-1）d，分n=1与n2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案19.【答案】证明：（1）直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点DD1平面ABCD，DEAD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，M（1，3，2），N（1，0，2），D（0，0，0），

16、E（0，3，0），C1（-1，3，4），MN=（0，-3，0），DC1=（-1，3，4），DE=（0，3，0），设平面C1DE的法向量n=（x，y，z），则nDC1=x+3y+4z=0nDE=3y=0，取z=1，得n=（4，0，1），MNn=0，MN平面C1DE，MN平面C1DE解：（2）C（-1，3，0），DC=（-1，3，0），平面C1DE的法向量n=（4，0，1），点C到平面C1DE的距离：d=|DCn|n|=417=41717【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN平面C1DE（2）求出=（-1，0），平面C1DE的法向量

17、=（4，0，1），利用向量法能求出点C到平面C1DE的距离本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】解：（1）证明：f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1，令g（x）=cosx+xsinx-1，则g（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x（0，2）时，xcosx0，当x(2，)时，xcosx0，当x=2时，极大值为g（2）=210，又g（0）=0，g（）=-2，g（x）在（0，）上有唯一零点，即f（x

18、）在（0，）上有唯一零点；（2）由（1）知，f（x）在（0，）上有唯一零点x0，使得f（x0）=0，且f（x）在（0，x0）为正，在（x0，）为负，f（x）在0，x0递增，在x0，递减，结合f（0）=0，f（）=0，可知f（x）在0，上非负，令h（x）=ax，作出图示，f（x）h（x），a0【解析】（1）令g（x）=f（x），对g（x）再求导，研究其在（0，）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明； （2）利用（1）的结论，可设f（x）的零点为x0，并结合f（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大21.

19、【答案】解：M故点A，B且A在直线x+y=0上，点M在线段AB的中垂线x-y=0上，设M的方程为：（x-a）2+（y-a）2=R2（R0），则圆心M（a，a）到直线x+y=0的距离d=|2a|2，又|AB|=4，在RtOMB中，d2+（12|AB|）2=R2，即(|2a|2)2+4=R2又M与x=-2相切，|a+2|=R由解得R=2a=0或R=6a=4，M的半径为2或6；（2）线段为M的一条弦，圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2=|MA|2，M与直线x+2=0相切，|MA|=|x+2|，|x+2|2=|OM|2+|OA|2=x2+y2+4，y2=4x

20、，M的轨迹是以F（1，0）为焦点x=-1为准线的抛物线，|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1，当|MA|-|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值【解析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x-y=0上，设圆的方程为M的方程为（x-a）2+（y-a）2=R2（R0），然后根据圆与直线x+2=0相切和圆心到直线x+y=0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可； （2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2=4x，然后根据抛物线的定义即可得

21、到定点本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题22.【答案】解：（1）由x=1t21+t2，y=4t1+t2（t为参数），得x=1t21+t2y2=2t1+t2，两式平方相加，得x2+y24=1（x-1），C的直角坐标方程为x2+y24=1（x-1），由2cos+3sin+11=0，得2x+3y+11=0即直线l的直角坐标方程为得2x+3y+11=0；（2）设与直线2x+3y+11=0平行的直线方程为2x+3y+m=0，联立2x+3y+m=04x2+y24=0，得16x2+4mx+m2-12=0由=16m2-64（m2-12）=0，得m=4当m=4时，直线2x+3y+4=0与曲线C的切点到直线2x+3y+11=0的距离最小，即为直线2x+3y+4=0与直线2x+3y+11=0之间的距离，为：|114|22+3=7【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x=cos，y=sin代入2cos+sin+11=0，可得直线l的直角坐标方程；（2）写出与直线l平行的直线方程为，与曲线C联立，化为关于x的一元