高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（1）学案 新人教A版必修5

1、2.1 数列的概念与简单表示法（1）学习目标1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案 不是顺序不一样思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，

2、排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，的第100项是多少？你是如何猜的？答案100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项ann，从而第100项应为100.梳理如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式思考2数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么异同？答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同

3、之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集知识点三数列的分类思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列类型一由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是

4、下列各数：(1)1，；(2)，2，8，；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an，nN*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an，nN*.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN*.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an(1)n11，nN*.反思与感悟要由数列的前几项写出数列

5、的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系跟踪训练1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)，；(2)，；(3)7,77,777,7 777.解(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an，nN*.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an，nN*.(3)这个数列的前4项可以变为9，99，999，9 999，即(101

6、)，(1001)，(1 0001)，(10 0001)，即(101)，(1021)，(1031)，(1041)，所以它的一个通项公式为an(10n1)，nN*.类型二数列的通项公式的应用例2已知数列an的通项公式an，nN*.(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项解(1)a10.(2)令，化简得8n233n350，解得n5(n舍去)当n5时，a5.所以不是该数列中的项引申探究对于例2中的an(1)求an1；(2)求a2n.解(1)an1.(2)a2n.反思与感悟在通项公式anf(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已

7、知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是跟踪训练2已知数列an的通项公式为an(nN*)，那么是这个数列的第_项答案10解析，n(n2)1012，n10.1下列叙述正确的是()A数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B数列0,1,2,3，可以表示为nC数列0,1,0,1，是常数列D数列是递增数列答案D解析由数列的通项an知，an1an0，即数列是递增数列，故选D.2数列2,3,4,5，的一个通项公式为()Aann，nN* Bann1，nN*Cann2，nN* Dan2n，nN*答案B解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为ann1，nN*.3已知数列a

8、n的通项公式an，nN*，则a1_；an1_.答案1解析a11，an1.1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，314，3.141，它没有通项公式根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想

9、、转化、归纳3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式40分钟课时作业一、选择题1已知数列an的通项公式为an，nN*，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0 B0,1,0,1C.，0，0 D2,0,2,0答案A解析当n分别等于1,2,3,4时，a11，a20，a31，a40.2已知数列an的通项公式为ann2n50，nN*，则8是该数列的()A第5项 B第6项C第7项 D非任何一项答案C解析解n2n508，得n7或n6(舍去)3数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dann21答案C解析令n1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可排除A、B

10、、D，故选C.4数列，的第10项是()A. B.C. D.答案C解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an，nN*，当n10时，a10.5已知数列，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析数列，的通项公式为an，0.94，0.96，098，0.99，都在数列中，故有3个6如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项

11、公式为().Aann，nN* Ban，nN*Can，nN* Dann2，nN*答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an.7设an(nN*)，那么an1an等于()A. B.C. D.答案D解析anan1，an1an.二、填空题8观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，_，.答案3解析由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为3.9数列3,5,9,17,33，的一个通项公式是_答案an2n1，nN*10323是数列n(n2)的第_项答案17解析由ann22n323，解得n17(负值舍去)323是数列n(n2)中的第17项三、解答题11根据数列的

12、前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，；(4)，1，.解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律：后面数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)，nN*.(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an，nN*.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为，因此原数列可化为，an(1)n，nN*.(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得原数列的一个通项公式为an，nN*.12在数列an中，a12，a1766，通项公式an是n的一次函数(1)求an的通项公式；(2)判断88是不是数列an中的项？解(1)设anknb，k0.则解得an4n2，nN*.(2)令an88，即4n288，解得n22.5N*.88不是数列an中的项13已知数列，nN*.(1)求这个