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1、1,1.8 函数的连续性与间断点,2,一、函数的连续性,1.函数的增量,3,2.连续的定义,4,5,例1,证,由定义2知,6,3.单侧连续,定理,7,例2,解,右连续但不左连续 ,8,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,9,例3,证,10,例4.设f(x)定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,11,二、函数的间断点,12,1.跳跃间断点,例5,解,13,2.可去间断点,例6,14,解,注意 可去间断点只要改变或者

2、补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,15,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,16,3.第二类间断点,例7,解,17,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,18,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,19,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,20,例9： 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,21,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例10.设函数,试确定常数 a 及 b .,22,例11. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,23,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),24,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡

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