现代控制理论-4

1、现代控制理论基础,1,4.1 关于稳定性的几个定义 4.2 李亚普诺夫第一方法 4.3 李亚普诺夫第二方法 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用,4控制系统的稳定性Lyapunov第二方法,现代控制理论基础,2,引 言,1892年，李雅普诺夫（Lyapunov）提出了两种用于确定由常微分方程描述的系统稳定性的方法：第一方法和第二方法。 第一方法又称间接法，它的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。它包括了用微分方程显式解来进行系统分析的所有步骤

2、。 第二方法通过构造一个称之为Lyapunov函数的纯量函数来判别系统的稳定性，所以这种方法也叫做Lyapunov直接方法。它是分析线性和非线性、时变和定常的动力学系统稳定性的一种普遍原理，而且还可有效地应用于系统分析和综合问题的许多方面。,现代控制理论基础,3,4.1 关于稳定性的几个定义,4.1.1 平衡状态 定义 动力学系统 的平衡状态是满足 的那一类状态，用 表示。即 对于线性定常系统 如果矩阵A是非奇异的，则系统只存在唯一的一个平衡状态 =0，而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态。 对于非线性系统，通常有一个或几个平衡状态。,现代控制理论基础,4,4.1.2 Lyapunov意义下

3、的稳定性 系统受扰动作用后将偏离其平衡状态，随后系统可能出现下列情况：（1）系统的自由响应有界；（2）系统的自由响应不但有界，而且最终回到平衡状态；（3）系统的自由响应无界。Lyapunov把上述三种情况分别定义为稳定、渐近稳定和不稳定。下面分别给出其定义。,(1) Lyapunov意义下的稳定性 用下式表示以平衡状态 为圆心、半径为k的球域： 式中， 称为欧几里德范数，即,4.1 关于稳定性的几个定义,现代控制理论基础,5,定义4-1 对于任意给定的每个实数 ，都对应存在 另一实数 ，使得一切满足不等式 的任意初始状态x0出发的系统响应 x，在所有时间内都满足 则称系统的平衡状态 在Lyap

4、unov意义下是稳定 的。若 与t0选取无关，则平衡状态 是一致稳定的。 几何含义：给定以任意正数 为半径的球域，当t无限增大时， 从球域内 出发的轨迹总不越 出球域 ，那么平衡状态 是 Lyapunov 意义下稳定的。 以二维空间为例，上述定义几 何解释如右图所示。,4.1 关于稳定性的几个定义,二维空间中稳定平衡状态示意图,现代控制理论基础,6,(2)渐近稳定 定义4-2 若平衡状态 是Lyapunov意义下稳定的，并且当 t 趋近于无穷大时，x(t)趋近于 ， 即 ，则称平衡 状态 渐近稳定。 以二维空间为例，上述定义 几何解释右图所示。 （3）大范围渐近稳定 定义4-3 如果平衡状态

5、是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态 就称为大范围渐近稳定。,4.1 关于稳定性的几个定义,二维空间中渐近稳定平衡状态示意图,现代控制理论基础,7,很明显，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只 存在一个平衡状态。 对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它一 定是大范围渐近稳定的。如果系统不是大范围渐近稳定的， 那么就要遇到一个确定渐近稳定的最大范围的问题，这通常 非常困难。 （4）不稳定 定义4-4 如果对于某一实数 ，不 论 取得多么小，在 内总存在一个 初始状态x0 ，由此出发的轨迹最终越出 ，即 ，则称平衡状态 不稳定。 以二维空间为例，上述定义

6、 几何解释右图所示。,4.1 关于稳定性的几个定义,二维空间中不稳定平衡状态示意图,现代控制理论基础,8,4.2 李亚普诺夫第一方法,Lyapunov第一方法又叫间接法。它的基本思路是解系统方程，然后根据方程的解判别系统的稳定性。 (1)对于线性定常系统只需求出特征值就可判别其稳定性。 (2)对于非线性系统，则必须首先将系统的状态方程线性化， 然后用线性化方程（即一次近似式）的特征值来判别系统的 稳定性。,（1）线性系统稳定性的判别 定理4-1 线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 例4-1 试分析如下系统的稳定性。 解 矩阵A的特征方程为 于是得矩阵A的特

7、征值为 。故系统不是渐近稳定的。,现代控制理论基础,9,定义4-5 若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定。 有界是指如果一个函数h(t)，在时间区间 内，它的幅值不会增至无穷大，即存在一个实常数K，使得对于 内所有，恒有 ，则称h(t)有界。 定理4-2 线性连续定常系统 的传递函数为 当且仅当其极点都在S左半平面内，则系统是输入输出稳 定。 结论：若系统 是渐近稳定的，则它也是输入输出稳定的；若系统是输入输出稳定的，且又是能控能观测的，则系统是渐近稳定的。,4.2 李亚普诺夫第一方法,现代控制理论基础,10,（2）非线性系统的稳定性分析 设系统在零输

8、入下的状态方程为 f(x)是与x同维数的向量函数，它对于状态向量x是连续可微的。 将非线性向量函数f(x)在平衡状态 附近展开成泰勒级数，即,4.2 李亚普诺夫第一方法,雅可比（Jacobian）矩阵。 引入偏差向量 ，即 可导出系统的线性化方程， 或称一次近似式为 式中,现代控制理论基础,11,假如矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 是渐近稳定的，且系统的稳定性与高阶项无关。 如果一次近似式中矩阵A的特征值中至少有一个实部为正的特征值，那么原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 如果一次近似式中矩阵A的特征值中虽然没有实部为正的特征值，但有实部为零的特征值，那么原非线性系

9、统的平衡状态 的稳定性要由高阶项决定。,4.2 李亚普诺夫第一方法,现代控制理论基础,12,例4-3 描述振荡器电压产生的Vanderpol方程为 试确定系统渐近稳定Q的取值范围。( ) 解 令 ， ，上式可化为 显然，这是一个非线性方程，其平衡状态xe为,4.2 李亚普诺夫第一方法,将状态方程线性化，有 且A的特征方程为 根据Lyapunov第一方法，若原非线性系统平衡状态 xe 是渐 近稳定的，则要求 和 。由于 ，则欲 使 ，必须有 即 。,现代控制理论基础,13,4.3 李亚普诺夫第二方法,Lyapunov第二方法又称直接法。它不必通过对运动方程 的求解而直接确定系统平衡状态的稳定性，

10、它是建立在用能 量观点分析稳定性的基础上。若系统的平衡状态是渐近稳定 的，则系统受激励后其贮存的能量将随着时间推移而衰减， 当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。反之，如果系统的 平衡状态是不稳定的，则系统将不断地从外界吸收能量，其 贮存的能量将越来越大。 Lyapunov第二方法就是用V(x)和 的正负来判别系统的 稳定性。 对于一个给定系统，只要能找到一个正定的标量函数V(x), 而 半负定的，那么这个系统就是稳定的称V(x)为系统的一 个Lyapunov函数。 本节介绍Lyapunov关于稳定、渐近稳定和不稳定的几个定理。在介绍这些定理前先介绍一下有关标量函数V(x)符号性质的几个定义。,

11、现代控制理论基础,14,4.3.1预备知识 (1)标量函数V(x)符号性质的几个定义 设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数， 且在 x=0 处，恒有V(x)=0。对所有在域 中的任何非零矢量 x， ，则称V(x)是正定的。 ，则称V(x)是半正定的。 ，则称V(x)是负定的。 ，则称V(x)是半负定的。 或 ，则称V(x)是不定的。,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,15,(2) 二次型标量函数 （3）P的各阶主子行列式为 ， ,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,16,二次型函数V(x)的符号性质可用赛尔维斯特（Sylvester）准则来判断。 二次型函数V(x)为

12、正定的充分必要条件为矩阵P的所有主子行列式为正。 二次型V(x)为负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V(x)为半正定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V(x)为半负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,17,4.3.2 Lyapunov第二方法的几个定理 定理4-3 设系统的状态方程为 如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满 足下列条件： ； ，则平衡状态xe渐近稳定。 如果随着 ，有 ，则平衡状态xe是大范围 渐近稳定的。 定理应用需要注意两点： 1. 定理只是充分条件，不是充分必要条件。即

13、如果所选取的 正定函数的导数不是负定的，并不能断言该系统不稳定，因 为很可能还没有找到合适的函数。 2. 寻找 Lyapunov函数V(x)的困难在于必须是负定的，而这个 条件是相当苛刻的。能否把为负定的这个条件用为半负定来 代替？,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,18,例4-4 某非线性系统的状态方程为 xe=0是其唯一的平衡状态，试判别平衡状态xe的稳定性。 解 取标量函数V(x)为 显然V(x)是正定的。V(x)对时间的导数为 将状态方程代入上式，得 显然， 是负定的，函数V(x)满足定理4-3的条件和，则系统的平衡状态是渐近稳定的，V(x)是系统的一个Lyapunov函数

14、。 由于当 ，有 ，满足定理4-3的条件，所以 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,19,定理4-4 设系统的状态方程为 xe =0是系统唯一的平衡状态。若存在 V(x) 满足下列条件 ； ， 则称系统在原点处的平衡状态是稳定的。 对于任意的 的任意初始状态 ，在 时 除了在 x=0 时有 外，不恒等于零。 则系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 定理4-5 设系统的状态方程为 xe =0是系统平衡状态。如果存在一个标量函数V(x)，它具有连续的一阶偏导数且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是正定的； 在同样的邻域内也是正定的。 那么系统的平衡状态是

15、不稳定的。,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,20,4.3 李亚普诺夫第二方法,例4-5 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。 解 令 ， ，求得原点(0,0) 为给定系统的唯一 平衡状态。如仍取标量函数V(x)为 则 当 时， ，因此 不是负定的，而是 半负定的，因此所选V(x)不满足定理4-3的条件。 现另选取 显然V(x)是正定的。计算得 , 是负定的，所 以该V(x)是系统的一个Lyapunov函数。系统在原点处的平衡 状态是渐近稳定的。又因为 ，有 ，故系统 的平衡状态是大范围渐近稳定的。,现代控制理论基础,21,例4-6 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状

16、态的稳定性。 解 显然 ，即原点为平衡状态。选取正定的标量函数 ，则 V(x)为正定的，又 也为正定的，故定理4-5的条件均满足，因此系统的平衡状态是不稳定的。,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,22,4.3.3 几点说明 应用Lyapunov第二方法分析系统稳定性的关键在于如何找到Lyapunov函数V(x)，然而Lyapunov稳定性理论本身并没有提供构造Lyapunov函数的一般方法。下面简略概括一下Lyapunov函数的属性。 Lyapunov函数是一个标量函数。 对于给定系统，如果存在Lyapunov函数，它不是唯一的。 Lyapunov函数最简单的形式是二次型函数。即

17、。其中P为实对称正定阵。对于一般情况而言，Lyapunov函数不一定都是简单的二次型函数。但对线性系统而言，其Lyapunov函数一定可以用二次型函数来构造。,4.3 李亚普诺夫第二方法,现代控制理论基础,23,在线性系统中，如果平衡状态是局部渐近稳定的，那么该系统一定也是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，在大范围内不是渐近稳定的平衡状态有可能是局部渐近稳定的。因此，线性系统的渐近稳定性和非线性系统的渐近稳定性含义是不同的。 两种构造非线性系统Lyapunov函数的方法： (1)克拉索夫斯基（Krasovskii）方法; (2)变量梯度法。 4.4.1 Krasovskii方法 非线性系统

18、的状态方程为 假设xe =0。 Krasovskii用状态向量x的导数来构造Lyapunov函数。即令 其中P为对称正定矩阵。,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,现代控制理论基础,24,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,为验证 是否为负定， V(x)对时间t求导数，有 考虑到 式中 称为系统的Jacobian矩阵。 整理得 式中 可以证明，若Q是负定的，则 也是负定的。,现代控制理论基础,25,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,结论： 对于非线性系统 若选取正定对称矩阵P，且使为 负定的，则 统在xe=0处是渐近稳定的。 如果 ， 有 ，则系统在xe=

19、0处 是大范围渐近稳定的。 例4-7 试用Krasovskii方法判别下列系统 在原点处是大范围渐近稳定的。 解 按照Krasovskii方法选取P=I，故有 由于,现代控制理论基础,26,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,从而有 , 故有 且 由Sylvester判据，知Q是负定的。则系统的Lyapunov函数为 显然，当 ， 。所以该系统在原点处是大范围渐近稳定的。 当非线性特性能用解析式表达时，且系统的阶次又不太高时，用Krasovskii方法分析这类非线性系统的渐近稳定性还是比较方便的。它是充分条件，而非必要条件。,现代控制理论基础,27,4.4 非线性系统的Lyapun

20、ov稳定性分析,4.4.2 变量梯度法 D.G.Shultz和J.E Gibson在1962年提出来的。主要思路是先假设一个旋度为零的梯度gradV，然后根据它再确定V(x)。 假设非线性系统 的平衡状态xe =0是渐近稳定的，则其Lyapunov函数V(x)存在，且函数V(x)一定具有唯一的梯度gradV 若Lyapunov函数V(x)是x的显函数,而不是时间t的显函数，则V(x)对时间的导数为,现代控制理论基础,28,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,写成矩阵的形式为 因此D.G.Shultz和J.E Gibson提出，先假设gradV为某一形式， 譬如为 并根据 为负定的要

21、求确定gradV，进而确定上式中的未定系数，然后由这个gradV 按下式导出V(x),现代控制理论基础,29,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,如果求出的V(x)是正定的，这就是给定系统所要构造的 Lyapunov函数。 如果V(x)的梯度向量gradV的线积分与路径无关的话，那就必须要求gradV的旋度为零。即要求gradV满足如下方程 其中 对于一个n阶系统，应有n(n-1)/2个旋度方程。如n=3，则有下列三个旋度方程。,现代控制理论基础,30,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,综上所述，如果非线性系统的平衡状态xe=0是渐近稳定， 则可按如下步骤求得系统的L

22、yapunov函数V(x)： 按某一形式给出gradV； 从gradV求出 ，并限定它为负定或至少是半负定的； 用式旋度方程确定gradV中的未定系数； 再核对一下 ，因为上一步计算可能使它改变； 求出V(x)。 例4-8 试用变量梯度法判定非线性系统 在原点处是渐近稳定的。,现代控制理论基础,31,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,解 设所求Lyapunov函数V(x)的梯度为如下形式 于是V(x)的导数为 试探地选取 则 如果 ， 则 是负定的，将 代入梯度公式有,现代控制理论基础,32,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,注意到 满足旋度方程，所以 上面所求得的

23、Lyapunov函数V(x)对于 的所有点都 是正定的，所以系统在上述范围内是渐近稳定的。 为了说明由上式所确定的Lyapunov函数不是唯一的，我们重新选择梯度表达式中未定系数为,现代控制理论基础,33,4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,于是 ，在整个状态平面上是负定的。 此时 ，由于 显然，若 ，则满足旋度方程，所以V(x)为 从这个Lyapunov函数可以看出，系统的原点在 范围内 是渐近稳定的。系统渐近稳定的范围比前面的大，因此这次构造的Lyapunov函数优于前者。,现代控制理论基础,34,4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,主要内容：用Lyapunov第

24、二方法来分析线性连续定常系统以及线性定常离散系统的稳定性。 4.5.1 线性连续定常系统的稳定性分析 线性连续定常系统的状态方程为 假设所选的Lyapunov函数为二次型函数 其中P为 维实对称正定矩阵。 V(x)对时间的导数为 则有 欲使系统在原点处是渐近稳定的，则要求 是负定的， 因此必须有 式中 为正定对称矩阵。,现代控制理论基础,35,定理4-6 线性连续定常系统 在平衡状态xe =0处渐近稳定的充分必要条件是给定一个正定 对称矩阵Q，存在一个正定对称P满足方程 上式又称为Lyapunov方程。标量函数 是系统的一 个Lyapunov 函数。 注意：如果 不恒等于零，则Q可取为半正定的

25、 对称矩阵。 例4-9 设二阶线性定常系统的状态方程为 显然，原点是系统的平衡状态。试确定该系统的稳定性。 解 设Lyapunov函数为,4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,现代控制理论基础,36,矩阵P由下式确定 上式可写为 将矩阵方程展开，可得联立方程组 解方程组可得 下面检验矩阵P的正定性，P的各阶主子行列式 P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态渐近稳定，而 系统的一个Lyapunov函数为,4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,现代控制理论基础,37,4.5.2 线性定常离散系统的稳定性分析 设线性定常离散系统状态方程为 式中，G为非奇异矩阵，系统的平衡状态是原点。 假设取如下正定二次型函数,4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析,计算 有 令 上式称为离散系统的Lyapunov方程。于是有,现代控制理论基础,38,定理4-7 线性定常离散系统 渐近稳定的充分必要条件是给定任一实正定对称矩阵Q，存在一个实正定对称矩阵P，使得 成立。 是系统