高中数学 九大高频考点例析 苏教版选修1-1

1、九大高频考点例析对应学生用书P66命题及其关系考查方式以四种命题、逻辑联结词为主要内容，考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以填空题为主，属容易题备考指要1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题 2.命题pq中，p、q有真则真；命题pq中，p、q有假则假.例1(1)(重庆高考改编)命题“若p则q”的逆命题是_(2)(山东高考改编)设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图像关于直线x对称则下列判断正确的是_(填序号)p为真綈q为假pq为假pq为真解析(1)根据定义，只需将条件与结论交换即可(2)函数ysin

2、 2x的最小正周期为，故p为假命题，函数ycos x的对称轴为xk(xZ)，故q为假命题所以pq为假答案(1)若q则p(2)1命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是_答案：若xy不是偶数，则x，y不都是偶数2设集合Ax|2ax0，命题p：1A，命题q：2A.若pq为真命题，pq为假命题，则a的取值范围是_解析：若p为真命题，则2a11.若q为真命题，则2a22.依题意，得p假q真，或p真q假，即或1a2.答案：(1,2充分条件与必要条件考查方式充要条件与各章节内容相结合是历年高考考查的热点之一，题型主要以填空题为主备考指要1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性(1)若“pq

3、”，且“p/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”； (2)若“pq”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”； (3)若“p/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件” 2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.例2(福建高考改编)设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的_条件解析“x2且y1”满足方程xy10，故“x2且y1”可推得“点P在直线l：xy10上”；但方程xy10有无数多个解，故“点P在直线l：xy10上”不能推得“x2且y1”，故“x2且y1”是“点P

4、在直线l：xy10上”的充分不必要条件答案充分不必要3(天津高考改编)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的_条件解析：若(ab)a20，则a0，且ab，所以充分性成立；若ab，则ab0，当a0时，(ab)a20，所以必要性不成立故“(ab)a20”是“a0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的_条件解析：若f(x)是奇函数，则k(kZ)，且当时，f(x)为奇函数答案：必要不充分全称量词与存在量词考查方式主要考查全称命题与存在性命题的真假的判定以及含有一个量词的命题的否定题型主要是填空题备考指要1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立

5、，一般用代数推理的方法加以证明要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可 2.存在性命题的真假判定：要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可否则，这一存在性命题为假 3.全称命题的否定一定是存在性命题，存在性命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定 4.注意命题的否定与否命题的区别.例3(四川高考改编)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA,2xB，则綈p为_解析由命题的否定易知綈p：xA，2xB，注意要把全称量词改为存在量词答案xA,2xB5(湖北高考改编)命题“存

6、在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_答案：任意一个无理数，它的平方不是有理数6命题“对任何xR，|x1|x3|3”的否定是_解析：由题意知命题的否定为“存在xR，使|x1|x3|3”答案：存在xR，使得|x1|x3|0，b0)的两个焦点，P是C上一点若PF1PF26a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_(2)(天津高考改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.解析(1)设点P在双曲线的右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则PF1PF22a，又PF1PF26a，PF1

7、4a，PF22a，在双曲线中ca，在PF1F2中PF2所对的角最小且为30，由余弦定理得PFPFF1F2PF1F1F2cos 30.即4a216a24c28ac，化简得(ac)20，c a，即，e.(2)已知2，所以4，渐近线方程为yx，而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而SAOBp，得p2.答案(1)(2)27双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是_解析：由已知，双曲线中，a8，b6，所以c10，由于点P到右焦点的距离为4,4b0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求

8、k的值解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN| d.由，化简得7k42k250，解得k1.9已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线ykxm(k0)相交于不同的两点M、N.当AMAN时，求m的取值范围解：(1)依题意可设椭圆方程为y21，则右焦点F(，0)，由题设3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21

9、.(2)设P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，0，即m23k21.xP，从而yPkxPm，kAP，又AMAN，APMN，则，即2m3k21.把代入得2mm2，解得0m2，由得k20，解得m，故所求m的取值范围是.10(天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解：(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线的方程为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又

10、a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由过点F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.圆锥曲线的标准方程与轨迹问题考查方式求圆锥曲线的标准方程与轨迹方程也是高考重点内容之一，题型以解答题为主备考指要1.根据圆锥曲线的焦点位置

11、，来确定标准方程的形式，利用待定系数法求解即可 2.求轨迹方程的几种常用方法： 直接法；代入法；定义法；消参法3.要注意轨迹方程与轨迹的区别.例6(辽宁高考)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为.故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物

12、线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.11已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点

13、D，E，求的最小值解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x22，x1x21.因为l1l2，所以l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x

14、3x4)11(2)11(24k2)184(k2)84216.当且仅当k2，即k1时，取最小值16.利用导数的几何意义求切线方程考查方式导数的几何意义是高考热点主要以填空为主，有时在解答题的第一问中出现，难度不大，主要考查求曲线的切线方程或求切线的倾斜角备考指要利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点注意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区别.例7(安徽高考)设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)a，当x时，f(x)0，f(x)在(，)上单

15、调递增；当0x时，f(x)1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，).利用导数研究函数的单调性、极值、最值考查方式利用导数研究函数的单调性和极值、最值的题目常考常新，一般以解答题的形式出现，与函数的性质的考查相结合，并含有参变量，属中高档题目，极值问题的考查是一个热点，一般需要分类讨论备考指要1.熟练掌握利用导数求函数单调区间的步骤，求得的单调区间之间不能用“”连接2.熟练掌握求函数极值最值的步骤和方法.例8设函数f(x)exax2.(1)求f(x

16、)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2

17、)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0；当x(2，ln 2)时，f(x)3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r3，所以c20，当r30时，r.令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)若0m，则当rm时，y0；当r(0，

18、m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点若m2，即3c，则当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .16某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)1”的否定是_答案：对任意实数x，都有x12命题：“若x21，则1x0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线

19、准线的距离等于_解析：抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.答案：45(重庆高考)设P为直线yx与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.解析：由PF1x轴且P点在双曲线的左支上，可得P.又因为点P在直线yx上，所以(c)，整理得c3b，根据c2a2b2得a2b，所以双曲线的离心率e.答案：6设f(x)x2(2x)，则f(x)的单调递增区间是_解析：f(x)x32x2，f(x)3x24x0时，得0x2，得1m2，所以m1.答案

20、：m19(山东高考改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的_条件解析：由q綈p且綈p/ q可得p綈q且綈q/ p，所以p是綈q的充分不必要条件答案：充分不必要10若函数f(x)的导函数f(x)x24x3，则函数f(x1)的单调递减区间是_解析：令f(x)x24x30，得1x3.f(x)的单调递减区间为(1,3)令1x13，则0x0在(0,2)上恒成立a1.答案：1，)13某名牌电动车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：yx239x40，令y0，解得x40或x1(舍)当x40时，y0；当0x40时，y0)的焦

21、点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点(1)用p表示线段AB的长；(2)若3，求这个抛物线的方程解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x23px0，x1x23p，x1x2，ABx1x2p4p.(2)由(1)知x1x2，x1x23p，y1y2x1x2(x1x2)p2，x1x2y1y2p23，解得p24，p2.这个抛物线的方程为y24x.16(本小题满分14分)已知命题p：方程ax2ax20在1,1上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x22ax2a0.若命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围解：p：方程ax2ax2

22、0在1,1上只有一个解，令f(x)ax2ax2，则f(1)f(1)0或f(1)0或0a1或a8.q：只有一个实数x满足x22ax2a0，则4a28a0，a0或a2.若pq为假命题，则p假且q假当p为假时，a1且a8；q为假时，则a0且a2.综上，知实数a的取值范围是a0)，故f(x).当0x0；当x2时，f(x)0，故在(0,1上g(x)0，即函数g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1)ln 21.而“存在x1(0,1，对任意的x21,2，总有g(x1)h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值”而h(x)在1,2上的最大值为h(1)，h(2)中的最大者，则应有m6ln 2.故实数m的取值范围为6ln 2，)18(本小题满分16分)某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值解：(1)设日销售量为s，则s，因为x4