高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数的单调性学案（含解析）新人教A版必修1

1、13.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性提出问题观察下列函数图象：问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大问题2：甲、乙图中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么？提示：甲图中，若x1x2，则f(x1)f(x2)；乙图中，若x1f(x2)问题3：丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？提示：(0，)导入新知1定义域为I的函数f(x)的增减性2单调

2、性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间化解疑难1x1，x2的三个特征(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2；(3)同属一个单调区间2理解函数的单调性应注意的问题(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用

3、“和”连接如函数y在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减(4)并非所有的函数都具有单调性如函数f(x)就不具有单调性由函数图象说明函数的单调性例1(1)函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4(2)画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间解(1)选C根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在3,1上单调递增(2)y即y函数图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，)类题通法由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减(2)单

4、调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接活学活用求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|.解：(1)f(x)3|x|图象如图所示f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1.函数单调性的证明例2求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数解证明：对于任意

5、的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用求证：函数f(x)在其定义域上是减函数证明：f(x)的定义域为0，)设0x1x2，则x1x20，且f(x2)f(x1)()().x1x20，0，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在它的定义域0，)上是减

6、函数.由函数的单调性求参数的取值范围例3(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求实数a的取值范围解(1)由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知0a0.因为函数f(x)x22ax的图象开口向下，对称轴为直线xa，且函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以a1.故满足题意的a的取值范围是(0,1典例已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，则x的取值范围为_解析由题意，得解得1x2.因为f(x)是定义在区间1,1上的

7、增函数，且f(x2)f(1x)，所以x21x，解得x.由得1x.答案类题通法1上题易忽视函数的定义域为1,1，直接利用单调性得到不等式x21x，从而得出x的错误答案2解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式若函数yf(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)f(x2)，有x1x2；若函数yf(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2D，且f(x1)x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域成功破障函数y的单调递增区间为_解析：x10，x1，函数y的单调递增区间为1，)答案：1，)随堂即时演练1下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有

8、0”的是()Af(x)Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x解析：选C0f(x)在(0，)上为增函数，而f(x)及f(x)3x1在(0，)上均为减函数，故A，B错误；f(x)x在(0,1)上递减，在1，)上递增，故D错误；f(x)x24x3x24x41(x2)21，所以f(x)在2，)上递增，故只有C正确2函数f(x)|x|，g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，(1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)解析：选C分别作出f(x) 与g(x)的图象(图略)得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，选C.3已知函数f(x)是(0，)上的减函数，则

9、f(a2a1)与f的大小关系是_解析：a2a120，又f(x)是(0，)上的减函数，f(a2a1)f.答案：f(a2a1)f4已知函数f(x)x22(1a)x2在(，4上是减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的单调递减区间是(，1a又函数f(x)在(，4上是减函数，1a4，即a3.所求实数a的取值范围是(，3答案：(，35求证：函数y在区间(1，)上为单调减函数证明：任取x1，x2(1，)，且x1x11，x110，x210，x2x10，0，y1y2，函数y在区间(1，)上为单调减函数课时达标检测一、选择题1若函数f(x)在区间(a，b

10、)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)(b，c)上()A必是增函数 B必是减函数C是增函数或减函数 D无法确定单调性解析：选D函数在区间(a，b)(b，c)上无法确定单调性如y在(0，)上是增函数，在(，0)上也是增函数，但在(，0)(0，)上并不具有单调性2设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较

11、出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.3设f(x)(2a1)xb在R上是减函数，则有()Aa BaCa Da解析：选Df(x)在R上是减函数，故2a10，即a.4下列四个函数在(，0)上为增函数的是()y|x|1；y；y；yx.A BC D解析：选Cy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数，也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数5已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2解析：选D依题

12、意得实数a满足解得0a2.二、填空题6函数f(x)|x1|2的单调递增区间为_解析：f(x)显然函数f(x)在x1时单调递增答案：1，)7如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x2(a1)x5的对称轴为x且在区间上是增函数，即a2.答案：(，28函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(3，2)和(1，2)，则使|f(x)|3时，f(x)2，当x2，则当3x1时，|f(x)|2.答案：(3,1)三、解答题9已知函数f(x)满足对任意的x1，x2R，(x1x2)f(x1)f(x2)0，求a的取值范围解：由对任意的x1，x2R，(x1x2)f(x1)f(x2)0知函数f(x)在R上为减函数当xf(0)33a；当x0时，函数f(x)x2a为二次函数，也为减函数，且有f(x)f(0)a.要使函数f(x)在R上为减函数，则有a33a，解得a.所以a的取值范围是.10已知函数f(x).(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；(2)判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并用定义加以证明解：(1)由x210，得x1，所以函数f(x)的定义域为AxR|x1(2)函数f(x)在(1，)上单调