高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（2）学案 新人教A版必修5

1、11.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题知识点一正弦定理的常见变形1sin Asin Bsin Cabc；2.2R；3a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；4sin A，sin B，sin C.知识点二判断三角形解的个数思考1在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数答案sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足ABb，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果

2、ab，则有AB，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个思考2已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？答案如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题梳理解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角其中只有类型(3)解的个数不确定知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos

3、 B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来简称边角互化思考2什么时候适合用正弦定理进行边角互化？答案 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径类型一判断三角形解的个数例1在ABC中，已知a20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)解

4、根据正弦定理，sin B0.899 9.因为0Ba，BA，(1)当B64时，C180(AB)180(4064)76，c30(cm)(2)当B116时，C180(AB)180(40116)24，c13(cm)综上，B64，C76，c30 cm或B116，C24，c13 cm.引申探究例1中b28 cm，A40不变，当边a在什么范围内取值时，ABC有两解(范围中保留sin 40)?解如图，A40，CDAD.AC28 cm，以C为圆心，a为半径画圆弧，当CDaAC，即bsin Aab，28sin 40a28时，ABC有两解(AB1C，AB2C均满足题设)反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，

5、首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求跟踪训练1已知一三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形解a2，b6，ab，A30a，BA，B(0，180)，所以B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a2bsin A，求cos Asin

6、C的取值范围解a2bsin A，由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，又A(0，)，sin A0，sin B.B为锐角，B.令ycos Asin Ccos Asincos Asincos Asin cos Acos sin Acos Asin Asin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cos B1，所以12cos B2，又2cos B，所以12.类型三正弦定理与三角变换的综合例3已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状解2cos 2B8cos B50，2(2co

7、s2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，A，A.A，C.ABC是等边三角形反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式跟踪训练3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，其中

8、a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得bcos Aacos B.由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，AB，AB0，即AB.故ABC为等腰三角形1在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为()A45 B30 C75 D90答案C解析由正弦定理，得，sin A.BC20)，则解得sin Asin Bsin Cabc753.3在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角

9、三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理，得sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，0B，0C，BCb，AB.B只有一解B45.9在ABC中，cos A，cos B，BC4，则AB_.答案5解析A，B(0，)，sin A .sin B .sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B1，C，AB5.10已知 c50，b72，C135，则三角形解的个数为_答案0解析cb，C180，故三角形无解三、解答题11在ABC中，求证：.证明因为2R，所以左边右边所以等式成立12在ABC中，已知c10，求a、b及ABC的内切圆半径解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab且A，B(0，)，2A2B，即AB.ABC是直角三角形