高中数学 第一章 坐标系测评 北师大版选修4-4

1、第一章坐标系测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.把极坐标方程=cos 化为直角坐标方程为() A.+y2=B.x2+C.x2+D.+y2=解析:由=cos 得2=cos ,所以x2+y2=x,即+y2=.故选D.答案:D2.已知点P的柱坐标为,则它的直角坐标为()A.(,1,1)B.(1,1,1)C.(,1)D.(1,0,1)解析:设点P的直角坐标为(x,y,z).则有x=rcos =cos=1,y=rsin =sin=1,z=1.故点P的直角坐标为(1,1,1).答案:B3.设点P的直角坐标为(4,4,4),则它的球坐标为()A.B.

2、C.D.解析:设点P的球坐标为(r,).则r=8,tan =1.又x0,=.4=8cos ,cos =.0,=.点P的球坐标为.答案:A4.在极坐标系中,点到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.C.D.解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点的直角坐标为(1,),则圆心(1,0)与(1,)的距离为d=.答案:D5.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标是()A.B.C.(1,0)D.(1,)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,圆心直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为.答案:B6.圆心在点(3,0)上,且过极点的圆的极坐标方程为(

3、)A.=6cos B.=6sin C.=3cos D.=3sin 解析:圆的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9,从而极坐标方程为=6cos .答案:A7.在极坐标系中,直线cos =1与圆=cos 的位置关系是()A.相切B.相交但直线不经过圆心C.相离D.相交且直线经过圆心解析:直线方程化为直角坐标方程为x=1,圆的方程可化为+y2=,所以直线与圆相切.答案:A8.极坐标方程=cos表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:由于不恒等于0,方程两边同乘,得2=cos=(cos +sin ),在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,cos =x,sin =y,2=x2

4、+y2,因此有x2+y2=(x+y),即方程=cos表示圆.此题还有另一种思路:极坐标方程=2acos 表示圆,而与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程=cos表示圆.答案:D9.极坐标方程4sin2=3表示的曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:由已知得sin =,所以=k,kZ,表示相交于原点的两条直线.答案:B10.点M关于直线=(R)的对称点的极坐标为()A.B.C.D.解析:点M的直角坐标为,直线=(R),即直线y=x,点关于直线y=x的对称点为,再化为极坐标,即.答案:A11.直线l为y+kx+2=0,曲线C为=2cos 有交点,若直

5、线l与曲线C有交点,则k的取值范围是()A.k-B.k-C.kRD.kR,且k0解析:曲线C的方程可化为x2+y2=2x,把直线方程代入得x2+(-kx-2)2-2x=0.整理可得(1+k2)x2+(4k-2)x+4=0,由题意此方程有实根,即=(4k-2)2-16(1+k2)0,解不等式得k-.答案:A12.导学号73144018在极坐标系中有如下三个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;tan =1(0)与=(0)表示同一条曲线;=3与=-3表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上

6、一点的所有极坐标不一定都适合方程,故是错误的;tan =1不仅表示=这条射线,还表示=这条射线,故亦不对;=3与=-3差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为3的圆,故正确.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.极坐标方程分别为=2cos 和=sin 的两个圆的圆心距为.解析:由=2cos ,得2=2cos ,化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.由=sin ,得2=sin ,化为直角坐标方程为x2+.所以两个圆的圆心分别为(1,0)和,故d=.答案:14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=4cos ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析:由得4c

7、os2=3.即2(1+cos 2)=3,cos 2=.又02,=.故=2.故曲线C1与C2的交点的极坐标为.答案:15.在极坐标系中,已知定点A,点B在直线cos +sin =0上运动,则当线段AB最短时,点B的极坐标是.解析:在直角坐标系中,点A坐标为(0,1),点B在直线x+y=0上,当AB最短时,点B为,化为极坐标为.答案:16.在极坐标系中,曲线C1为=2cos ,曲线C2为=,若曲线C1与C2交于A,B两点,则线段AB=.解析:曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由即曲线C1与C2的另一个交点与极点间的距离为,故AB=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)1

8、7.(本小题满分10分)如图,设极点O到直线l的距离为d,由点O向直线l作垂线,从极轴到垂线OA的角度为.求直线l的极坐标方程.解在直线l上任取一点M(,).在RtOMA中,cos(-)=d,即=.这就是直线l的极坐标方程.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解将代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即+(y+3)2=,故曲线C是以为圆心,半径为的圆.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知某圆

9、的极坐标方程为2-4cos +2=0.(1)将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.解(1)2-4cos +2=0,化为直角坐标方程为x2+y2-4x+2=0.(2)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2,令x-2=cos ,y=sin ,0,2).则x+y=cos +2+sin =2sin+2,sin-1,1,(x+y)0,4,故x+y的最大值和最小值分别为4,0.20.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1为=2cos -4sin ,C2为sin -2cos +1=0.(1)将C1的方程

10、化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.解(1)由=2cos -4sin ,得2=2cos -4sin ,即x2+y2=2x-4y.故C1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)sin -2cos +1=0可化为y-2x+1=0,圆心(1,-2)到直线的距离d=.|AB|=2.21.导学号73144019(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径为1,Q点在圆周上运动,点O为极点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在射线OQ上运动,且满足,求动点P的轨迹方程.解如图,(1)设点M(,)为圆C上任意一点,在OCM中,|OC|=3,|OM|=,|CM|

11、=1,COM=,根据余弦定理,得1=2+9-23cos,化简整理,得2-6cos+8=0为圆C的极坐标方程.(2)设Q(1,1),则有-61cos+8=0.设P(2,2),则|OQ|QP|=1(2-1)=231=2,又1=2,即代入得-62cos+8=0,整理得-152cos+50=0,故点P的轨迹方程为2-15cos+50=0.22.导学号73144020(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1为=2,曲线C2为sin,曲线C1与C2交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0),且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解(1)=2,x2+y2=4.又sin,y=x+2.|AB|=2=2=2.(2)(方法一)直线AB的斜率为1,过点(1,0)且与直线AB平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,直线l的极坐标为sin =cos -1,