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文档简介

1、不等式恒成立问题的处理王 婷 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型； 其他类不等式恒成立一、一次函数型nmoxy给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.二、 二次函数型（1）当二次函数的定义域为R时： 若二次函数y=ax2+bx+c (a0)大于0恒成立，则有若二次函数y=a

2、x2+bx+c (a0)小于0恒成立，则有例1.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 时， 成立 时，由，可知，练习1：.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。（2）当二次函数的定义域不是R时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。例2：若时，恒成立，求的取值范围。解：，令在上的最小值为。当，即时， 又 不存在。当，即时， 又 当，即时， 又 总上所述，。变式2：若时，恒成立，求的取值范围。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解：，即在上成立。 22综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）当，即时， 不存在。当，即时，当，即时， 综上所述。三、 其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例3函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参

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