二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思

1、二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思四川外国语大学附属外国语学校 肖庆笔者在初三复习二次函数中线段长度的最值问题时，用一题多变的形式将其各种题型逐一呈现，在层层递进中归纳出通性通法，同时也对相关的解题技巧进行了梳理。现将教学实例及课后反思总结出来，希望能抛砖引玉，与大家共同探讨。我将二次函数中线段长度的最值问题分成了两个大类:，第一类：可求出线段长度的解析式，再利用二次函数知识求最值；第二类：用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题。第一类问题复习中，我遵循“由浅入深”的原则先给出了此类问题中最简单，最基础的一个作为复习的例题。QPO CBAxy图1 例1：如图1，抛物线 与X轴交与点A和

2、点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛物线上有一点，过点作y轴的平行线交直线于点 ，求线段 的最大值。教学引导：点和点的横坐标相同，可先假设出来，然后利用函数的解析式表示出两个点的纵坐标，相减后可得线段长度的解析式，图2 再利用二次函数相关知识求其最大值。过点可作的y轴平行线，当然也可作X轴的平行线，引出变例1。变例1：如图2，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛物线上有一点，过点作X轴的平行线交直线于点 ，求线段 的最大值。教学引导：点和点的纵坐标相同，但要用假设的纵坐标表示出横坐标 有一定难度，可考虑利用例1的方法解变例1。即过点作y轴的平行线交于点 ，可证明，则 。

3、除了过点作坐标轴的平行线外，我再将条件更改为过点作直线的平行垂线，引出变例2。图3 变例2：如图3，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛物线上有一点，过点作直线的垂线于点 ，求线段的最大值。教学引导：让学生在变例1的启发下求解变例2，即过点作y轴的平行线交于点 ，可证明，则 。DQPO CBAxy图4 讲完变例2后我从以上三例引导学生自己归纳出三种线段长度的最值问题都可转化为求与y轴平行的线段的最值加以解决。然后我将它们结合起来，把线段的最值问题拓展到三角形周长的最值问题，给出了变例3和变例4。变例3：如图4，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛

4、物线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线交于点Q，求三角形PDQ周长的最大值；教学引导：让学生抓住，这两个关键点则可得 ，即可求出三角形PDQ周长的解析式。变例4：如图5，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛物线上有一点，作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的图5 最大值；教学引导： 还是将问题转化为与y轴平行的线段的最值问题求解，过点作y轴的平行线交于点 ，让学生抓住，则可得 ，即可求出三角形PMQ周长的解析式。课后反思：课后我觉得还可将此题进一步延伸，修改点B和点C的坐标，使 ，例如可将直线的解析式改为 ，则难度上升，可抓住其三角函数值

5、也相同这一关键点，先求出 的三角函数值，则可知的三角函数值，再求周长的的解析式。在复习第二类可用用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题时，我先用例2作为母题引入。例2：如图6，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴图6 交于点C，点G的坐标是（ ， ）。在抛物线的对称轴上找一点P使 的值最大，求符合题意得点P的坐标。教学引导：这是典型的“将军饮马”问题，找点C关于对称轴的对称点 ， 连接，与对称轴的交点即为符合题意得P点。图7 可把线段之和的最小值延伸到三角形或四边形周长的最小值，我给出了变例1。变例1：如图7，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上找一点P使四边形 的

6、周长最大，求符合题意得点P的坐标。教学引导：虽是要求四边形的周长最小，但 的长度是固定，关键是求 的最小值，这就将其转化为例1的问题了。 我们还可以把线段之和的最小值变更为线段之差绝对值的最大值，引出变例2。图8 变例2：如图7，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，点M的坐标是（ ， ）。在y轴上找一点P使 的值最大，求符合题意得点p的坐标。教学引导：直线MB与y轴的交点即为所求p点。教学反思：课后我思考可把上述两类最值问题结合起来，设计出双最值问题，使其进一步拓展升华。例如: 变例：如图9，抛物线 与X轴交与点A和点B，与y轴交于点C，在直线上方的抛物线上有一点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作直线的垂线于点 ，当 的周长最大值时，在y轴上找一点N使四边形的周长最大，求符合题意得点N的坐标。