高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课后提升训练（含解析）新人教A版选修1-1

1、函数的极值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=x2+2的极小值是()A.1B.2C.5D.不存在【解析】选C.f(x)=2x-,令f(x)=0,解得x=1,当x(0,1)时函数单调递减,当x(1,+)时函数单调递增,因此x=1是函数的极小值点,极小值为f(1)=5.2.(2017凉山模拟)函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值,则m的值为()A.sin1B.-sin1C.cos1D.-cos1【解析】选B.因为f(x)=+sinx,由题意得:f(1)=m+sin1=0,所以m=-sin1.3.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是()A.有

2、极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选D.f(x)=-2x-3x2,令f(x)=0有x=0或x=-.当x-时,f(x)0;当-x0;当x0时,f(x)0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”).6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为()A.(-

3、1,2)B.(-3,6)C.(-,-1)(2,+)D.(-,-3)(6,+)【解析】选D.f(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么=(2a)2-43(a+6)0,解得a6或a0,右侧f(x)0,所以f(x)在(-1,3)上单调递增,又f(-1)=-30,所以f(x)在(-1,3)内与x轴只有一个交点.答案:1个三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.(1)求函数的单调区间.(2)求函数的极大值与极小值的差.【解析】y=3x2+6ax+3b,因为x=

4、2是函数的极值点,所以12+12a+3b=0,即4+4a+b=0.又图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,所以y|x=1=3+6a+3b=-3,即2a+b+2=0.由解得a=-1,b=0.此时,y=3x2-6x=3x(x-2).(1)令y0,得x(x-2)0,所以x2;令y0,得x(x-2)0,所以0x0,函数g(x)单调递增.当a0,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)0时,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f(1)=0.当a0,f(x)单调递增,所以x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合

5、题意.当0a1时,由(1)知f(x)在内单调递增,所以x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=,=1时,f(x)在内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以x时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a,00,f(x)单调递增,当x时,f(x).【补偿训练】已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以-=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f

6、(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)无极值.【能力挑战题】已知函数f(x)=(c0且c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点.(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m1时k的取值范围.【解析】(1)f(x)=,由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因为c0,所以k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0,由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-).(2)由(*)式得k=,即c=1+.当c1时,k0;当0c1时,k0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减