高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式达标检测 新人教A版选修4-5

1、第四讲 数学归纳法证明不等式达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明“对任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01Bn02Cn01,2 D以上答案均不正确解析：当n01时，x2成立，故选A.答案：A2从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是()Af(n)f(n1)f(n2)(n3)Bf(n)2f(n1)(n2)Cf(n)2f(n1)1(n2)D f

2、(n)f(n1) f(n2)(n3)解析：分别取n1,2,3,4验证，得f(n)答案：A3设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角形的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：凸n1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)n1条对角线，故选C.答案：C4用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，nN能被9整除”，利用归纳假设证nk1，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：nk时，式子为k3(k1)3(k2)

3、3，nk1时，式子为(k1)3(k2)3(k3)3，故只需展开(k3)3.答案：A5下列说法中正确的是()A若一个命题当n1,2时为真，则此命题为真命题B若一个命题当nk时成立且推得nk1时也成立，则这个命题为真命题C若一个命题当n1,2时为真，则当n3时这个命题也为真D若一个命题当n1时为真，nk时为真能推得nk1时亦为真，则此命题为真命题解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可A，B，C项均不全面答案：D6平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1 Bf(

4、k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析：第k1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点答案：B7用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：由34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)答案：A8数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(

5、)A. BC. D解析：由a2S2S14a21得a2由a3S3S29a34a2得a3a2.由a4S4S316a49a3得a4a3，猜想an.答案：B9用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从k到k1，左边需要增加的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D解析：当nk时左边的最后一项是2k，nk1时左边的最后一项是2k2，而左边各项都是连续的，所以nk1时比nk时左边少了(k1)，而多了(2k1)(2k2)因此增加的代数式是2(2k1)答案：B10把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018到2 020的箭头方向依次为()A BC D解析：由2 0184504

6、2，而an4n是每一个下边不封闭的正方形左上顶点的数，故应选D.答案：D11用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2，故应选D.答案：D12若k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面的个数为()A2f(k) Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)2解析：如图所示是k1棱柱的一个横截面，显然从k棱柱到k1棱柱，增加了从Ak1发出的对角线k2条，即相应对角面

7、k2个，以及A1Ak棱变为对角线(变为相应的对角面)故f(k1)f(k)(k2)1f(k)k1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立解析：nk为偶数，下一个偶数为nk2.答案：k214在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为_，猜想Sn_.解析：S11,2Sn1Sn2S1.当n1时，2S2S123，S2；当n2时，2S3S22，S3；当n3时，2S4S32，S4.猜想Sn.答案：、15设f(n

8、)，用数学归纳法证明f(n)3.在“假设nk时成立”后，f(k1)与f(k)的关系是f(k1)f(k)_.解析：当nk时，f(k)；当nk1时，f(k1)，所以应乘.答案：16. 有以下四个命题：(1)2n2n1(n3)(2)2462nn2n2(n1)(3)凸n边形内角和为f(n)(n1)(n3)(4)凸n边形对角线条数f(n)(n4)其中满足“假设nk(kN，kn0)时命题成立，则当nk1时命题也成立”但不满足“当nn0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是_解析：当n取第一个值时经验证(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设nk(kN，kn0)时命题

9、成立，则当nk1时命题不成立所以(2)(3)正确答案：(2)(3)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明：(1)当n0时，A011212133能被133整除(2)假设nk时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k1.11(11k2122k1)133122k1.nk1时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数n0，命题都成立18(12分)设xn是由x12，xn1(nN)定义的数列，求证：xn.证明：(1)当n1时，x121，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，不等式成立，即xk，那么，当nk1时，xk1.由归纳假设，xk，则.xk，.xk1.即xk1.当nk1时，不等式xn成立综上，得xn0，x11，且xn1，nN.用数学归纳法证明：如果0x11，则xnxn1.证明：用数学归纳