2011年高考数学最后压轴大题系列--数列

1、金太阳新课标资源网 2011年高考数学最后压轴大题系列-数列1设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为（1）求证：M点的纵坐标为定值； （2）若N*，且n2，求（3）已知其中nN*Tn为数列an的前n项和，若对一切nN*都成立，试求的取值范围【解析】（1）证明： M是AB的中点设M点的坐标为（x，y）， 由（x1x2）x，得x1x21，则x11x2或x21x1 而y（y1y2） f（x1）f（x2） （log2 （1log2 （1log2 （1log2M点的纵坐标为定值（2）由（1），知x1x21，f（x1）f（x2）

2、y1y21， Snf（Snf（， 两式相加，得2Snf（）f（）f（） ，Sn（n2，nN*）（3）当n2时，an Tna1a2a3an（ （ 由Tn（Sn11），得 n4，当且仅当n2时等号成立，因此，即的取值范围是（）2. 对于给定数列，如果存在实常数命名得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”。 （1）若，数列是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； （2）证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”； 【解析】（1）因为，则有故数列是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2。因为，则有故数列是“M类数列”，对应的实常数分虽为2，0。 （4分） （2）证明

3、：若数列是“M类数列”，则存在实常数使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，故数列也是“M类数列”对应的实常数分虽为 （7分） 3. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”（I）若，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（II）若数列满足，故数列前项的和+ 9分（2）数列是“M类数列”， 存在实常数，使得对于任意都成立，.10分且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且则有对于任意都成立，即对于任意都成立，因此，12分此时，13分4.在数列中，如果对任意都有（k是不为零的常数），则称为等差比数列，k

4、称为公差比. （1）证明：公比不为1的等比数列是等差比数列，且公比等于公差比; (2) 判断两个数列是否为等差比数列; (3)若数列是首项为，公差比为k的等差比数列， 求的通项公式。 21.设等比数列的通项为因所以所以公比不为1的等比数列是等差比数列,且公比等于公差比.(2)由由故数列是等差比数列.由此时数列不是等差比数列 .此时数列是等差比数列.(3) 数列是公差比为k的等差比数列， 综上可知: 5. 已知数列an的各项均为正数，观察程序框图，若时，有，令，（I）求数列an的通项公式 (II)令，求解： .2分由框图可知知数列an是首项是,公差为的等差数列，则有.3分.4分（I）由题意可知，

5、k=5时， （II）由（I）可得：. -，得.12分6. 已知数列的前项和为，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和。解：（1），.当，4分 （2），以上各式相加得，8分 （3）由题意得当2时，相减得：13分7. )某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船投入捕捞后第几年开始赢利？(2)该船投入捕捞多少年后，赢利总额达到最大？最大值为多少？解：(1)设该船投入捕捞后第年开始赢利，则 4分化简得 ， 解得 所以

6、，第3年开始赢利；7分(2)设该船投入捕捞年后的赢利总额为 则所以，投入捕捞10年后赢利总额达到最大，最大值为102万元。13分8.已知正项数列的前和为，且是与的等比中项。（1）求证：数列是等差数列；（2）若，数列的前项和为，求；（3）在（2）的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。（满分13分）解（1）当时，为等差数列。-（2）由（1）知，是以1为首项，2为公差的等差数列，则-得：-（3）易知，当时，数列为等比数列。-9.各项均为正数的数列an的前n项和Sn,函数（其中p、q均为常数，且pq0），当时，函数f(x)取得极小值，点均在函数的图象上，（其中

7、f(x)是函数f(x)的导函数） （1）求a1的值； （2）求数列的通项公式； （3）记的前n项和Tn.解：（I）解： 令 当x=变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：（0，）（，1）1（1，+）f(x)+00+f(x)极大值极小值 所以f(x)在x=1处取得最小值，即a1=1.（II）， 由于a1=1，所以 . 又。 得 ，所以an是以a1=1，公差为的等差数列，. （）10、已知函数的图象经过点，且对任意，都有数列满足（1）当为正整数时，求的表达式；（2）设，求；（3）若对任意，总有，求实数的取值范围.【解析】（1）记，由有对任意都成立，又，所以数列为首项为公差为2的等差数列，2分故

8、，即4分（2）由题设若为偶数，则5分若为奇数且，则，6分又，即 9分（3）当为奇数且时， ；10分当为偶数时， ，11分因为，所以，12分，单增即13分故的取值范围为14分11、,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.12、某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元。2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第年（为正整数，2011年为第1年）的利润为万元设从2011年起的前年，该景点不开发新项目的累计利润

9、为万元，开发新项目的累计利润为万元（须扣除开发所投入资金），求、的表达式；依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？13、在数列中，已知（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和14、等差数列中，前项和为，等比数列各项均为正数，且，的公比 （1）求与； （2）证明：15、已知数列满足如图所示的程序框图()写出数列的一个递推关系式；()证明：是等比数列，并求的通项公式；()求数列的前项和答案：11、解：(1)由.且得 2分, 4分 在中,令得当时,T=,两式相减得, 6分. 8分(2), 9分, 10分=2=, 13分 14分 12、解：依题意，是首项为，公差为的等差数列的前项和2分，所以4分；数列的前项和为7分，8分由得，9分，是数集上的单调递增数列10分，观察并计算知，11分，所以从第5年开始，开发新项目的累计利润更大12分。123解：（1）解法1：由可得，-3分数列是首项为，公差为1等差数列， -6分数列的通项公式为-7分解法2：由可得-2分令，则-3分当时-5分-6分-7分解法3：，-1分，-2分-3分由此可猜想出数列的通项公式为-4分以下用数学归纳法证明当时，等式成立假设当（）时等式成立，即，那么 -6分这就是说，当时等式也成立根据和可知，等式对任何都成立-7分（2）令，-8分-9分式减去式得：，-10分-12分数列的