高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）学案（含解析）新人教A版必修4

1、第二课时两角和与差的正切公式提出问题问题1：前面学习的同角三角函数关系中，tan ，sin ，cos 的关系怎样？提示：tan .问题2：利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan()用tan ，tan 表示吗？提示：能tan().问题3：能用tan ，tan 表示tan()吗？提示：能问题4：公式中，是任意实数吗？提示：不是，k，kZ.导入新知两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan()T()，k(kZ)两角差的正切tan()T()，k(kZ)化解疑难1公式tan()的推导当cos()0时，将公式S()，C()的两边分别相除，有tan()，若cos cos 0，将上

2、式的分子、分母分别除以cos cos ，得tan().2公式tan()的推导由于tan()tan ，在T()中以代替，可得tan()tan()，即tan().化简求值问题例1(1)若，tan (tan tan c)0(c为常数)，则tan _.(2)tan 23tan 37tan 23tan 37的值是_答案(1)(c1)(2)类题通法利用公式T()化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化

3、简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1tan”“tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值活学活用1计算的值答案：2求tan 20tan 40tan 20tan 40的值答案：条件求值问题例2已知sin，cos，且和分别为第二、第三象限角，求tan 的值解由题意，得cos，sin，tan，tan，tan tan .类题通法给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间

4、的关系，如用()，2()()等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值活学活用已知cos ，(0，)，tan()，求tan 及tan(2)的值答案：tan ；tan(2)2给值求角问题例3是否存在锐角和，使2，且tantan 2，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由解由得，tan.将代入得tantan 3.tantan 2，tan，tan 是方程x2(3)x20的两根解得x11，x22.若tan1，则与为锐角矛盾tan 1，tan2，代入得，满足tan2.类题通法解决给值求角问题的步骤(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还

5、需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小活学活用已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值答案：典例(12分)已知tan ，sin ，且，为锐角，求2的值解题流程规范解答tan 1且为锐角，0.(2分)又sin ，且为锐角，0，02.(4分)由sin ，为锐角，得cos ，tan .(6分)tan().(8分)tan(2)1.(10分)由可得2.(12分) 名师批注利用tan 1及为锐角，进一步将的范围缩小到，此处极易被忽视.由sin 1，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定答案：A4.的值等于()A1 B1C. D答案：D5(1tan 21)

6、(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)的值为()A16 B8C4 D2答案：C二、填空题6计算：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10_.答案：17若(tan 1)(tan 1)2，则_.答案：k，kZ8若sin(24)cos(24)，则tan(60)_.答案：2三、解答题9如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：由条件得cos ，cos .，为锐角，sin ，sin .因此tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，又，为锐角，020，(0，)，sin 0.sin ，tan .tan tan()，tan(2)tan()2.11设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)若tan tan 16，求证：ab.解：(1)由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，4cos sin 4sin cos 2(